Все формулы РФ

Математика / Прямые, плоскости

Эллиптический параболоид

Эллиптический параболоид раскрывается вдоль одной оси, а его горизонтальные сечения при z>0 являются эллипсами, поэтому поверхность выглядит как чаша.

Опубликовано: Обновлено:

Аналитическая геометрияГеометрия в пространствеПоверхности второго порядкаКанонический видКлассификация квадрик

Формула

$$z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$$
elliptic-paraboloid Визуальное пояснение

Горизонтальные сечения являются эллипсами, а вертикальные - параболами.

Чашеобразная квадрика с одной вершиной.

Обозначения

$a,b$
масштабы раскрытия по осям x и y, единицы длины
$z$
координата вдоль оси раскрытия, единицы длины
$x,y$
поперечные координаты точки, единицы длины

Условия применения

  • Параметры a и b положительны.
  • Ось параболоида совпадает с осью z.
  • Вершина находится в начале координат; для сдвига нужно заменить координаты.

Ограничения

  • При отрицательном знаке справа поверхность раскрывается в противоположном направлении.
  • Если один квадрат входит с минусом, получается гиперболический параболоид.
  • Каноническая форма предполагает отсутствие смешанного члена xy.

Подробное объяснение

В эллиптическом параболоиде одна координата выражается через сумму положительных квадратов двух других. Поэтому при фиксированном положительном z получаются эллипсы, а вертикальные сечения дают параболы. Поверхности второго порядка в пространстве являются трехмерным продолжением коник на плоскости. Их уравнения содержат квадраты координат, а форма поверхности зависит от знаков, коэффициентов и отсутствующих переменных. Практический смысл таких страниц не в запоминании названия, а в распознавании геометрии по уравнению: замкнутая поверхность, седло, конус, цилиндр или бесконечная поверхность с одной или двумя полостями. Поэтому после записи формулы полезно делать сечения плоскостями x=const, y=const, z=const: именно сечения быстро показывают, что перед нами сфера, эллипсоид, гиперболоид или параболоид. Для этой страницы главная проверка такая: координата раскрытия должна иметь минимальное или максимальное значение в вершине. Если она не проходит, значит поверхность либо записана не в канонической системе координат, либо относится к другому типу квадрик.

Как пользоваться формулой

  1. Определите линейную координату, вдоль которой раскрывается поверхность.
  2. Проверьте, что два квадратных члена имеют одинаковый знак.
  3. Сделайте сечение z=const и убедитесь, что получается эллипс.
  4. Сделайте вертикальное сечение и проверьте параболу.

Историческая справка

Параболоиды стали важными не только в чистой геометрии, но и в прикладных задачах: отражающие свойства параболы переносятся на поверхности вращения. Координатное описание пространственных поверхностей выросло из аналитической геометрии, связанной с работами Рене Декарта и Пьера Ферма, а затем развивалось вместе с алгебраической геометрией и математическим анализом. В XVIII-XIX веках квадрики стали стандартным объектом учебной и инженерной геометрии: их изучали через канонические уравнения, сечения, касательные плоскости и преобразования координат. Современная запись поверхностей второго порядка является частью общей традиции координатного метода, а не результатом одного открытия.

Историческая линия формулы

У этой формулы нет одного автора в современном учебном смысле. Исторически корректно связывать ее с развитием координатного метода у Декарта и Ферма, а каноническую классификацию квадрик - с последующей традицией аналитической геометрии и линейной алгебры.

Пример

Для z=x²/4+y²/9 сечение z=1 имеет вид x²/4+y²/9=1, то есть эллипс с полуосями 2 и 3. Сечение x=0 дает параболу z=y²/9. Поверхность имеет вершину в начале координат и лежит при z≥0. После вычисления нужно сделать геометрическую проверку: подставить несколько контрольных точек, посмотреть сечения координатными плоскостями и убедиться, что знаки квадратов соответствуют ожидаемой форме. Если поверхность должна быть замкнутой, уравнение не должно давать бесконечные ветви; если это параболоид или гиперболоид, поведение при больших координатах должно быть согласовано с канонической формой.

Частая ошибка

Часто называют эллиптический параболоид эллипсоидом из-за эллиптических сечений. Отличие в том, что эллипсоид замкнут, а параболоид раскрывается и имеет линейную координату z. Частая общая ошибка - смотреть только на наличие квадратов и не анализировать знаки. У эллипсоида все квадратные члены одного знака, у гиперболоида один или два знака отличаются, у параболоидов одна координата входит линейно, а у цилиндра одна координата вообще отсутствует. Еще одна ошибка - не приводить уравнение к каноническому виду перед распознаванием.

Практика

Задачи с решением

Сечение эллиптического параболоида

Условие. Для z=x²/4+y² найдите сечение z=4.

Решение. Получаем x²/4+y²=4, или x²/16+y²/4=1. Это эллипс.

Ответ. x²/16+y²/4=1

Направление раскрытия

Условие. Куда раскрывается поверхность z=3x²+y²?

Решение. Правая часть неотрицательна, значит z≥0 и поверхность раскрывается в положительном направлении оси z.

Ответ. Вверх вдоль +z

Дополнительные источники

  • OpenStax. Calculus Volume 3, Quadric Surfaces.
  • Paul Dawkins. Lamar University Calculus III, Quadric Surfaces.

Связанные формулы

Математика

Гиперболический параболоид

$z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$

Гиперболический параболоид является седловой поверхностью: в одном вертикальном сечении он раскрывается вверх, а в другом вниз.

Математика

Каноническое уравнение параболы

$y-k = a(x-h)^2$

Каноническая запись параболы связывает ее вершину (h,k) и параметр раскрытия a. При знаке a определяется направление ветвей по оси y.

Математика

Каноническое уравнение эллипса

$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1,\ a\ge b>0$

Канонический вид описывает эллипс через полуоси a и b и центр (h,k): точки с постоянной суммой расстояний до фокусов формируют замкнутую кривую.