Математический анализ: приближения
Линейное приближение
Формулы, где функция около точки заменяется касательной или первым членом локальной модели.
5 формул
Таблица формул
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Касательная к графику функции | $y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$ | Пределы, ряды | Уравнение касательной строится по точке касания и производной в этой точке. Это первая локальная модель функции и основной мост к линейным приближениям. |
| Касательная как линейная модель | $f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x$ | Пределы, ряды | Касательная в прикладной постановке нужна не только как прямая на чертеже, но и как локальная линейная замена функции. Формула позволяет быстро оценивать малое изменение величины, если известны значение функции и ее производная в одной точке. |
| Направленная производная через градиент | $D_{\mathbf u}f(a,b)=\nabla f(a,b)\cdot\mathbf u=f_x(a,b)u_1+f_y(a,b)u_2,\quad \|\mathbf u\|=1$ | Пределы, ряды | Направленная производная через градиент: формула D_{\mathbf u}f(a,b)=\nabla f(a,b)\cdot\mathbf u=f_x(a,b)u_1+f_y(a,b)u_2,\quad \|\mathbf u\|=1 помогает требуется требуется требуется требуется требуется требуется переменные меняются не строго по осям, а вдоль заданного направления: траектории движения, направления... |
| Полный дифференциал функции двух переменных | $df(a,b)=f_x(a,b)\,dx+f_y(a,b)\,dy$ | Пределы, ряды | Полный дифференциал функции двух переменных: формула df(a,b)=f_x(a,b)\,dx+f_y(a,b)\,dy помогает найти производную или дифференциал без потери условий. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Формула Тейлора с остаточным членом | $f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+R_n(x),\quad R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$ | Пределы, ряды | Формула Тейлора с остаточным членом: формула f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+R_n(x),\quad R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |