Все формулы РФ

Математика / Пределы, ряды

Направленная производная через градиент

Направленная производная измеряет скорость изменения функции в выбранном направлении и выражается через скалярное произведение градиента на единичный вектор.

Опубликовано: Обновлено:

Математический анализПроизводныеЛинейное приближениеГеометрия

Формула

$$D_{\mathbf u}f(a,b)=\nabla f(a,b)\cdot\mathbf u=f_x(a,b)u_1+f_y(a,b)u_2,\quad \|\mathbf u\|=1$$
Схема Проекция градиента на направление

Направленная производная равна длине проекции градиента на выбранный единичный вектор.

Направленная производная равна длине проекции градиента на выбранный единичный вектор.

Обозначения

$\mathbf u$
единичный вектор направления, безразмерный
$u_1,u_2$
компоненты направления, безразмерный
$D_{\mathbf u}f$
направленная производная, число

Условия применения

  • Нужно нормировать вектор u
  • Нужны fx и fy в точке
  • Точка (a,b) совпадает для всех частных производных

Ограничения

  • Не нормированный вектор даёт масштабированный ответ
  • Нужна существующая градиентная информация
  • На негладких точках формула невалидна

Подробное объяснение

Направленная производная отвечает на вопрос: насколько быстро меняется функция, если из данной точки сделать малый шаг не по оси x и не по оси y, а по конкретному направлению. Если функция дифференцируема, ее малое приращение хорошо приближается полным дифференциалом. Поэтому изменение вдоль единичного вектора u равно скалярному произведению grad f на u.

Эта формула сразу объясняет несколько фактов. Максимальное значение направленной производной получается, когда u направлен как градиент; минимальное - в противоположную сторону; нулевое - в направлениях, перпендикулярных градиенту. Поэтому формула связывает локальную геометрию поверхности с векторной алгеброй. В прикладных задачах она помогает оценивать чувствительность результата к совместному изменению нескольких параметров, например когда цена и объем меняются одновременно.

Как пользоваться формулой

  1. Найдите градиент функции в общем виде.
  2. Подставьте координаты точки, где требуется скорость изменения.
  3. Нормируйте заданный вектор направления до единичной длины.
  4. Вычислите скалярное произведение градиента на единичный вектор.

Историческая справка

Направленная производная стала естественным развитием частных производных после появления векторного языка. В ранних задачах механики и геометрии важно было знать не только изменение по координатным осям, но и изменение вдоль траектории, нормали, касательной или произвольного направления. Такой запрос особенно заметен в теории поверхностей и физических полей.

Современная компактная запись через градиент и скалярное произведение появилась вместе с векторным анализом. Она удобна потому, что заменяет множество отдельных вычислений единой формулой. Для пользователя это означает: если градиент уже найден, любую направленную производную можно получить одной операцией, не строя заново одномерный предел вдоль прямой.

Историческая линия формулы

У формулы нет одного автора. Она является результатом соединения дифференциального исчисления нескольких переменных с векторным анализом. Исторически важна линия от частных производных к градиенту и скалярному произведению.

Пример

Пример 1. Пусть f(x,y)=x^2+y^2, точка (1,2), направление u=(3/5,4/5). Градиент равен (2x,2y), значит в точке получаем (2,4). Направленная производная: (2,4)·(3/5,4/5)=6/5+16/5=22/5. Пример 2. Если вместо единичного направления взять v=(3,4), результат нельзя считать сразу: длина v равна 5, поэтому сначала u=v/|v|=(3/5,4/5). Контроль показывает смысл нормировки: направленная производная должна измерять изменение на единичный шаг, а не зависеть от того, как длинно записан вектор направления.

Частая ошибка

Главная ошибка - подставлять неединичный вектор направления. Тогда ответ масштабируется длиной вектора и перестает быть скоростью изменения на единичное расстояние. Еще одна ошибка - путать направление движения с градиентом: градиент задает направление максимального роста, но направленная производная может считаться в любом выбранном направлении.

Практика

Задачи с решением

Считать производную вдоль u

Условие. f_x=6, f_y=1, u=(3/5,4/5)

Решение. D_u=6*3/5+1*4/5=22/5

Ответ. 22/5

Косинусный вид

Условие. grad f=(1,2), u=(\sqrt2/2,\sqrt2/2)

Решение. D_u=3\sqrt2/2

Ответ. 3\sqrt2/2

Дополнительные источники

  • Apostol, Calculus, Volume II: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications to Differential Equations and Probability
  • Marsden, Tromba, Vector Calculus

Связанные формулы

Математика

Градиент функции двух переменных

$\nabla f(a,b)=(f_x(a,b), f_y(a,b))$

Градиент собирает частные производные в вектор и показывает направление наибольшего локального роста функции двух переменных.

Математика

Частные производные функции двух переменных

$f_x(a,b)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h},\quad f_y(a,b)=\lim_{k\to0}\frac{f(a,b+k)-f(a,b)}{k}$

Частная производная показывает скорость изменения функции по одной переменной при фиксированной второй переменной, то есть локальный наклон сечения поверхности.

Математика

Касательная к графику функции

$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$

Уравнение касательной строится по точке касания и производной в этой точке. Это первая локальная модель функции и основной мост к линейным приближениям.