Все формулы РФ

Математика: классы

Формулы по математике за 8 класс

Собрать ключевые формулы квадратных корней, квадратных уравнений, четырехугольников, окружности и площадей.

Классовая подборка

Что входит

Объем

39 формул

Этой страницы достаточно, чтобы быстро повторить тему, сверить запись формулы и открыть подробный разбор.

Темы

4 разделов

Алгебра, Геометрия, Тригонометрия, Функции и графики

Практика

17 калькуляторов

Где расчет однозначен, страницу можно использовать для быстрой проверки ответа.

Как пользоваться страницей

Начните со сводной таблицы, затем откройте нужную формулу: на отдельной странице есть обозначения, условия применения, пример, частая ошибка, историческая справка и связанные материалы.

39 формул

Таблица формул

Формула Запись Тема Для чего нужна
Арифметический квадратный корень $\sqrt{a}=x\quad\Longleftrightarrow\quad x^2=a,\;x\ge 0,\;a\ge 0$ Алгебра Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа a - это неотрицательное число, квадрат которого равен a; определение помогает отличать значение корня от решений уравнения с квадратом.
Квадрат арифметического квадратного корня $(\sqrt{a})^2=a,\quad a\ge 0$ Алгебра Квадрат арифметического квадратного корня возвращает подкоренное выражение, если оно неотрицательно; правило нужно для упрощения радикалов и контроля области допустимых значений.
Квадратный корень из частного $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}},\quad a\ge 0,\;b>0$ Алгебра Квадратный корень из частного равен частному квадратных корней, если числитель неотрицателен, а знаменатель положителен.
Вынесение множителя из-под квадратного корня $\sqrt{a^2b}=|a|\sqrt{b},\quad b\ge 0$ Алгебра Вынесение множителя из-под корня отделяет полный квадрат внутри подкоренного выражения и превращает его в множитель перед корнем.
Внесение множителя под квадратный корень $a\sqrt{b}=\sqrt{a^2b}\quad\text{при }a\ge 0,\;b\ge 0$ Алгебра Внесение множителя под корень заменяет множитель перед радикалом его квадратом под знаком корня: например, 3\sqrt{5}=\sqrt{45}.
Сложение подобных квадратных корней $k\sqrt{a}+m\sqrt{a}=(k+m)\sqrt{a},\quad a\ge 0$ Алгебра Подобные квадратные корни имеют одинаковую подкоренную часть, поэтому складываются их коэффициенты перед корнем; правило помогает упрощать суммы радикалов после вынесения множителей.
Неполное квадратное уравнение x² = a $x^2=a\quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{a}\;(a>0),\;x=0\;(a=0)$ Алгебра Уравнение x² = a решается через квадратный корень: при положительном a есть два противоположных корня, при нуле один корень, а при отрицательном a действительных решений нет.
Неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 $ax^2+bx=0\quad\Rightarrow\quad x(ax+b)=0$ Алгебра Неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 решается вынесением общего множителя x за скобки; так сразу видны корень x = 0 и корень линейного множителя.
Корни приведенного квадратного уравнения $x^2+px+q=0,\quad x_{1,2}=\frac{-p\pm\sqrt{p^2-4q}}{2}$ Алгебра Приведенное квадратное уравнение имеет коэффициент 1 при x², поэтому формула корней записывается через p и q и напрямую связывается с теоремой Виета.
Разложение квадратного трехчлена на множители $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ Алгебра Если x_1 и x_2 - корни уравнения ax^2+bx+c=0, то трехчлен обращается в ноль при x=x_1 и x=x_2, поэтому записывается как a(x-x_1)(x-x_2).
Теорема Пифагора $c^2 = a^2 + b^2$ Геометрия Теорема Пифагора позволяет найти сторону прямоугольного треугольника: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух катетов.
Площадь треугольника через основание и высоту $S = \frac{1}{2}ah$ Геометрия Площадь треугольника через основание и высоту равна половине произведения выбранного основания на соответствующую высоту.
Площадь параллелограмма $S = ah$ Геометрия Площадь параллелограмма находят как произведение стороны, выбранной основанием, на перпендикулярную высоту к этой стороне.
Площадь трапеции $S = \frac{a + b}{2}h$ Геометрия Площадь трапеции равна полусумме ее оснований, умноженной на высоту, проведенную между параллельными сторонами. При подстановке важно выбрать именно те величины, которые соответствуют обозначениям в формуле.
Площадь ромба через диагонали $S = \frac{d_1d_2}{2}$ Геометрия Площадь ромба можно найти по диагоналям: половина произведения диагоналей дает площадь всей фигуры. При подстановке важно выбрать именно те величины, которые соответствуют обозначениям в формуле.
Теорема Виета для квадратного уравнения $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a},\quad x_1x_2 = \frac{c}{a}$ Алгебра Теорема Виета выражает сумму и произведение корней квадратного уравнения через его коэффициенты без отдельного вычисления каждого корня.
Квадрат суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ Алгебра Квадрат суммы раскрывается как квадрат первого выражения плюс удвоенное произведение выражений плюс квадрат второго выражения.
Квадрат разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ Алгебра Квадрат разности раскрывается как квадрат первого выражения, минус удвоенное произведение выражений, плюс квадрат второго выражения.
Разность квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ Алгебра Разность квадратов раскладывается на два множителя: разность оснований и сумму тех же оснований. При подстановке важно выбрать именно те величины, которые соответствуют обозначениям в формуле.
Свойство квадратного корня из произведения $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b},\quad a \ge 0,\ b \ge 0$ Алгебра Квадратный корень из произведения неотрицательных множителей можно заменить произведением квадратных корней из этих множителей.
Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике $\tan \alpha = \frac{a}{b}$ Тригонометрия Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету. При подстановке важно выбрать именно те величины, которые соответствуют обозначениям в формуле.
Средняя линия треугольника $m = \frac{a}{2}$ Геометрия Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна половине ее длины. При подстановке важно выбрать именно те величины, которые соответствуют обозначениям в формуле.
Степени и корни: основные свойства $a^m a^n=a^{m+n},\quad (a^m)^n=a^{mn},\quad \sqrt[n]{a}=a^{1/n}$ Алгебра Свойства степеней и корней позволяют заменять произведения, частные и корни выражениями со степенями. Это базовый язык алгебраических преобразований в школьной математике.
Формулы сокращенного умножения $(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2,\quad a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ Алгебра Формулы сокращенного умножения позволяют быстро раскрывать скобки и раскладывать выражения на множители. Они являются основой преобразования многочленов.
Квадратный трехчлен и разложение по корням $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ Алгебра Квадратный трехчлен можно разложить на множители через его корни, если корни существуют. Формула связывает стандартный вид многочлена с точками, где он обращается в ноль.
Тригонометрия: основное тождество $\sin^2 x+\cos^2 x=1,\quad \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ Тригонометрия Основное тригонометрическое тождество связывает синус и косинус одного угла, а тангенс выражается как отношение синуса к косинусу. Эти формулы лежат в основе преобразований.
Планиметрия: площадь треугольника через основание и высоту $S=\frac{1}{2}ah$ Геометрия Площадь треугольника равна половине произведения выбранного основания на высоту, опущенную к этому основанию. Формула является одной из главных в планиметрии.
Дискриминант квадратного уравнения в 8 классе $D=b^2-4ac$ Алгебра Дискриминант квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 показывает, сколько действительных корней может иметь уравнение и какие дальнейшие действия нужны.
Корни квадратного уравнения через дискриминант $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a},\quad D=b^2-4ac$ Алгебра Формула корней квадратного уравнения находит значения x, при которых ax^2 + bx + c обращается в ноль. Она использует дискриминант и коэффициенты уравнения.
Теорема Виета для приведенного и полного квадратного уравнения $x_1+x_2=-\frac{b}{a},\quad x_1x_2=\frac{c}{a}$ Алгебра Теорема Виета связывает сумму и произведение корней квадратного уравнения с его коэффициентами. Для приведенного уравнения сумма равна -p, произведение равно q.
Квадратный корень из произведения $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b},\quad a\ge0,\;b\ge0$ Алгебра Квадратный корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению их квадратных корней. Условия a >= 0 и b >= 0 обязательны в действительных числах.
Квадратный корень из дроби $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}},\quad a\ge0,\;b>0$ Алгебра Квадратный корень из дроби равен дроби из квадратных корней числителя и знаменателя, если числитель неотрицателен, а знаменатель положителен.
Свойство степени с целым показателем $a^{-n}=\frac{1}{a^n},\quad a\ne0,\;n\in\mathbb{N}$ Алгебра Степень с отрицательным целым показателем означает обратную величину к степени с положительным показателем. Основание при этом не должно быть нулем.
Обратная пропорциональность $y=\frac{k}{x},\quad x\ne0$ Функции и графики Обратная пропорциональность задает зависимость, при которой произведение x и y постоянно. Если одна величина увеличивается, другая уменьшается во столько же раз.
Площадь трапеции через основания и высоту $S=\frac{a+b}{2}\cdot h$ Геометрия Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Формула учитывает две параллельные стороны и расстояние между ними.
Площадь ромба через произведение диагоналей $S=\frac{d_1d_2}{2}$ Геометрия Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Формула удобна, когда известны обе диагонали, а высота или сторона не даны.
Средняя линия треугольника в задачах 8 класса $m=\frac{a}{2}$ Геометрия Средняя линия треугольника соединяет середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна половине этой третьей стороны.
Теорема Фалеса $\frac{AB}{BC}=\frac{A_1B_1}{B_1C_1}$ Геометрия Теорема Фалеса утверждает, что параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на этих сторонах пропорциональные отрезки.
Подобие треугольников по двум углам $\angle A=\angle A_1,\;\angle B=\angle B_1\Rightarrow \triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1$ Геометрия Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны, а их стороны пропорциональны.