Все формулы РФ

Математика / Алгебра

Неполное квадратное уравнение x² = a

Уравнение x² = a решается через квадратный корень: при положительном a есть два противоположных корня, при нуле один корень, а при отрицательном a действительных решений нет.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаОГЭФормулы по математике за 8 классАлгебраКвадратные корни, свойства корнейДискриминант, корниЕсть историческая справка

Формула

$$x^2=a\quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{a}\;(a>0),\;x=0\;(a=0)$$
Пара корней Два числа с одинаковым квадратом

На числовой прямой отмечены -6 и 6; обе точки стрелками связаны с квадратом 36.

Положительное a дает два противоположных решения уравнения x^2 = a.

Обозначения

$x$
неизвестная величина
$a$
число в правой части уравнения
$\pm\sqrt{a}$
два противоположных корня при a > 0

Условия применения

  • Если a > 0, уравнение имеет два действительных корня.
  • Если a = 0, уравнение имеет один корень x = 0.
  • Если a < 0, действительных корней в школьном курсе нет.

Ограничения

  • Нельзя писать x = \sqrt{a} как единственный ответ при a > 0.
  • Нельзя извлекать действительный квадратный корень из отрицательного числа.
  • Если уравнение имеет коэффициент перед x^2, сначала нужно разделить на этот коэффициент.

Подробное объяснение

Уравнение x^2 = a спрашивает: какие числа при возведении в квадрат дают a. Если a положительно, таких действительных чисел два: положительное и отрицательное. Они противоположны, потому что квадрат уничтожает знак.

Арифметический квадратный корень помогает записать положительное решение. Но уравнение требует все решения, поэтому появляется знак \pm. Это не свойство самого корня, а способ кратко записать два значения неизвестной.

Если a равно нулю, оба возможных знака дают одно и то же число: 0. Поэтому говорят об одном корне. Если a отрицательно, действительных решений нет, потому что квадрат любого действительного числа неотрицателен.

Эта простая схема лежит в основе решения неполных квадратных уравнений вида ax^2 + c = 0. Сначала уравнение приводят к x^2 = a, затем применяют правило о знаке правой части.

В задачах важно не путать ответ уравнения и значение корня. Запись \sqrt{36} равна только 6, но решение x^2=36 содержит и -6, потому что неизвестная стоит в квадрате.

Как пользоваться формулой

  1. Приведите уравнение к виду x^2 = a.
  2. Определите знак числа a.
  3. Если a > 0, запишите два корня +-\sqrt{a}.
  4. Если a = 0, запишите x = 0.
  5. Если a < 0, укажите, что действительных корней нет.

Историческая справка

Уравнения вида x^2 = a исторически связаны с задачами о площади квадрата: по площади нужно было найти сторону. Геометрическая сторона положительна, поэтому сначала естественно появлялся положительный корень. В древних практических задачах это соответствовало длинам, площадям и построениям, где отрицательные значения не имели прямого смысла. В алгебре, где неизвестная может быть и отрицательной, стало важно учитывать два решения. Такой переход от геометрического смысла к алгебраическому - одна из причин, почему тема квадратных корней и квадратных уравнений изучается вместе. В 8 классе это первый шаг к полным квадратным уравнениям и дискриминанту.

Историческая линия формулы

У правила решения x^2 = a нет одного автора. Оно связано с древними задачами о площадях, развитием квадратных корней и переходом от геометрического решения к алгебраическому описанию всех корней; поэтому в атрибуции важна не персона, а развитие языка уравнений.

Пример

Решим x^2 = 36. Дано неполное квадратное уравнение, нужно найти все действительные значения x. Число 36 положительно, значит уравнение имеет два корня: x = -\sqrt{36} и x = \sqrt{36}. Так как \sqrt{36} = 6, получаем x = -6 или x = 6. Проверка обязательна: (-6)^2 = 36 и 6^2 = 36, оба числа подходят. Если бы уравнение было x^2 = 0, ответ был бы только x = 0. Если x^2 = -9, действительных решений нет, потому что квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Поэтому знак правой части определяет число решений.

Частая ошибка

Частая ошибка — потерять отрицательный корень и написать только x = 6 для уравнения x^2 = 36. Вторая ошибка — переносить знак +- на значение арифметического корня и писать \sqrt{36}=+-6. Правильно: \sqrt{36}=6, а уравнение имеет два корня. Третья ошибка — считать, что x^2 = -4 имеет корень -2. На самом деле (-2)^2 = 4, а не -4.

Практика

Задачи с решением

Два корня

Условие. Решите уравнение x^2 = 49.

Решение. 49 > 0, значит x = +-\sqrt{49} = +-7.

Ответ. x = -7 или x = 7

Нет действительных корней

Условие. Решите уравнение x^2 = -16 в действительных числах.

Решение. Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, поэтому решений нет.

Ответ. действительных корней нет

Дополнительные источники

  • Алгебра 8 класса: неполные квадратные уравнения
  • OpenStax Elementary Algebra 2e, раздел Solve Quadratic Equations by Square Roots

Связанные формулы

Математика

Арифметический квадратный корень

$\sqrt{a}=x\quad\Longleftrightarrow\quad x^2=a,\;x\ge 0,\;a\ge 0$

Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа a - это неотрицательное число, квадрат которого равен a; определение помогает отличать значение корня от решений уравнения с квадратом.

Математика

Неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0

$ax^2+bx=0\quad\Rightarrow\quad x(ax+b)=0$

Неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 решается вынесением общего множителя x за скобки; так сразу видны корень x = 0 и корень линейного множителя.

Математика

Корни квадратного уравнения

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

Формула корней квадратного уравнения позволяет найти решения уравнения ax² + bx + c = 0.