Математика / Алгебра

Корни квадратного уравнения

Формула корней квадратного уравнения выражает решения ax^2+bx+c=0 через коэффициенты a, b и дискриминант D, если a не равно нулю.

Опубликовано: 25 мая 2026 г.Обновлено: 25 мая 2026 г.

Формула

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}

Обозначения

$x_{1,2}$: корни квадратного уравнения
$D$: дискриминант
a, b: коэффициенты уравнения

Подробное объяснение

Формула корней решает квадратное уравнение общего вида ax^2+bx+c=0. Коэффициент a должен быть ненулевым, иначе уравнение перестает быть квадратным и превращается в линейное.

Вывод формулы основан на выделении полного квадрата. Члены с x преобразуют так, чтобы слева появился квадрат выражения с x, а справа осталось число, содержащее b^2-4ac. После извлечения квадратного корня появляется знак ±, который и дает возможные корни.

Дискриминант определяет, есть ли что извлекать в действительных числах. При D>0 квадратный корень положителен, поэтому получаются два разных значения. При D=0 оба варианта совпадают. При D<0 действительных корней нет, если курс не переходит к комплексным числам.

Формула чувствительна к знакам коэффициентов. Если уравнение x^2+4x-5=0, то b=4 и -b=-4; если x^2-4x-5=0, то b=-4 и -b=4. Эта разница полностью меняет положение корней.

После вычисления корней полезно выполнить подстановку или свериться с теоремой Виета: сумма корней должна равняться -b/a, а произведение c/a. Такая проверка быстро ловит ошибки в знаках и делении.

Как пользоваться формулой

Проверьте, что a не равно 0.
Найдите дискриминант D.
Если D отрицателен, действительных корней нет.
Если D неотрицателен, подставьте a, b и D в формулу корней.

Историческая справка

Методы решения квадратных уравнений известны с древности. Вавилонские таблички показывают задачи, эквивалентные современным квадратным уравнениям, где неизвестные находили через операции с суммой и произведением. Запись была числовой и словесной, без современных буквенных коэффициентов.

В IX веке аль-Хорезми систематизировал решения квадратных уравнений в трактате об алгебре, разделяя случаи по положительным членам и используя геометрическое завершение квадрата. Это был важный этап между практическими рецептами и общей алгебраической формой.

Современная формула с a, b, c стала возможной после развития буквенной символики в Европе. Когда общий вид ax^2+bx+c=0 стал стандартным, решение через дискриминант и знаменатель 2a превратилось в компактную универсальную запись, используемую в школьной алгебре.

Историческая линия формулы

Формула корней квадратного уравнения является итогом долгого развития алгебры. Древние математики решали частные квадратные задачи, аль-Хорезми систематизировал методы, а современная буквенная запись оформилась значительно позже. Поэтому единственного автора у формулы нет.

Пример

Задача. Решить уравнение x^2-5x+6=0 через дискриминант и формулу корней. Дано: a=1, b=-5, c=6. Сначала D=b^2-4ac=(-5)^2-4·1·6=25-24=1. Тогда x_{1,2}=(-b±sqrt(D))/(2a)=(5±1)/2. Получаем x_1=(5+1)/2=3, x_2=(5-1)/2=2. Ответ: x=2 и x=3. Проверка: подстановка дает 2^2-5·2+6=4-10+6=0 и 3^2-5·3+6=9-15+6=0. Оба значения обращают исходное уравнение в верное равенство. Дополнительная проверка по Виету: сумма найденных корней 2+3=5 равна -b/a=5, а произведение 2·3=6 равно c/a=6. Оба контрольных равенства подтверждают вычисления.

Частая ошибка

Часто забывают, что в числителе стоит -b, а не b. Для b=-5 это дает 5, а не -5. Вторая ошибка — делить только sqrt(D) на 2a, оставляя -b отдельно; знаменатель относится ко всему числителю. Еще одна ловушка — использовать формулу, когда уравнение не приведено к нулю. При D=0 нужно записывать один корень x=-b/(2a), а не два разных ответа.

Дополнительные источники

Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра. 8 класс, раздел «Формула корней квадратного уравнения»
ФИПИ: кодификатор ОГЭ по математике, уравнения
ФИПИ: кодификатор ЕГЭ по математике, алгебраические уравнения
Al-Khwarizmi. The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing

Связанные формулы

Математика

Дискриминант квадратного уравнения

$D = b^2 - 4ac$

Дискриминант D=b^2-4ac определяет, сколько действительных корней имеет квадратное уравнение ax^2+bx+c=0 и можно ли найти их через корень из D.

Математика

Корни приведенного квадратного уравнения

$x^2+px+q=0,\quad x_{1,2}=\frac{-p\pm\sqrt{p^2-4q}}{2}$

Приведенное квадратное уравнение имеет коэффициент 1 при x², поэтому формула корней записывается через p и q и напрямую связывается с теоремой Виета.

Математика

Теорема Виета для квадратного уравнения

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a},\quad x_1x_2 = \frac{c}{a}$

Теорема Виета выражает сумму и произведение корней квадратного уравнения через его коэффициенты без отдельного вычисления каждого корня.

Математика

Неполное квадратное уравнение x² = a

$x^2=a\quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{a}\;(a>0),\;x=0\;(a=0)$

Уравнение x² = a решается через квадратный корень: при положительном a есть два противоположных корня, при нуле один корень, а при отрицательном a действительных решений нет.

Математика

Разложение квадратного трехчлена на множители

$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$

Если x_1 и x_2 - корни уравнения ax^2+bx+c=0, то трехчлен обращается в ноль при x=x_1 и x=x_2, поэтому записывается как a(x-x_1)(x-x_2).