Все формулы РФ

Математика / Алгебра

Дискриминант квадратного уравнения

Дискриминант D=b^2-4ac определяет, сколько действительных корней имеет квадратное уравнение ax^2+bx+c=0 и можно ли найти их через корень из D.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаОГЭЕГЭКалькуляторАлгебраЕсть историческая справка

Формула

$$D = b^2 - 4ac$$

Обозначения

$D$
дискриминант
a, b, c
коэффициенты квадратного уравнения

Подробное объяснение

Дискриминант — это выражение из коэффициентов квадратного уравнения, которое появляется при выводе формулы корней. Он стоит под квадратным корнем, поэтому его знак определяет, какие действительные решения возможны.

Квадратное уравнение сначала приводят к виду ax^2+bx+c=0, где a не равно нулю. После выделения полного квадрата получается выражение, в котором расстояние от вершины параболы до оси x зависит от b^2-4ac. Именно это выражение называют дискриминантом.

Если D>0, квадратный корень из D положителен, и знак ± дает два разных корня. Если D=0, прибавление и вычитание нуля совпадают, поэтому корень один, но он считается двойным. Если D<0, действительного квадратного корня нет, и парабола не пересекает ось x.

Дискриминант также связан с графиком функции y=ax^2+bx+c. Знак D показывает число точек пересечения параболы с осью Ox: две, одна касательная точка или ни одной. Поэтому формула полезна не только для вычислений, но и для графического анализа.

Перед вычислением важно аккуратно определить a, b и c. Если уравнение записано как 3x^2=5x-2, его сначала переносят в 3x^2-5x+2=0, и только потом берут коэффициенты.

Как пользоваться формулой

  1. Запишите уравнение в виде ax² + bx + c = 0.
  2. Определите коэффициенты a, b и c с учетом знаков.
  3. Подставьте их в D = b² - 4ac.
  4. По знаку D определите количество действительных корней.

Историческая справка

Квадратные уравнения решали еще в древневавилонской математике, но тогда методы записывались словами и геометрическими рассуждениями. Отдельного символа дискриминанта не было: задачи сводились к выделению квадрата и поиску неизвестной величины по площади или длинам.

В арабской алгебре IX века аль-Хорезми систематизировал типы квадратных уравнений и способы их решения через преобразования, близкие к выделению полного квадрата. Позднее европейская символическая алгебра позволила записывать общий вид ax^2+bx+c=0 и выделить выражение, отвечающее за число корней.

Термин «дискриминант» закрепился в более общей алгебраической традиции, где похожие выражения различают случаи корней многочлена. Для квадратного уравнения школьная формула D=b^2-4ac стала самым простым и важным примером этой идеи.

Историческая линия формулы

Дискриминант квадратного уравнения не принадлежит одному автору. Его вычислительный смысл вырос из древних методов решения квадратных задач, алгебры аль-Хорезми и поздней символической записи многочленов. Современное обозначение D — учебное соглашение.

Пример

Задача. Исследовать уравнение 2x^2-7x+3=0 и подготовить его к нахождению корней. Дано: a=2, b=-7, c=3. Подставляем в D=b^2-4ac: D=(-7)^2-4·2·3=49-24=25. Дискриминант положителен, значит у уравнения два действительных корня. Ответ: D=25, корней два. Проверка: все коэффициенты взяты с их знаками из уравнения. Особенно важно, что b=-7, поэтому b^2=(-7)^2=49. Положительный квадратный дискриминант позволяет дальше использовать sqrt(D)=5 в формуле корней. Дополнительная проверка по графику: D>0 означает, что парабола y=2x^2-7x+3 пересекает ось Ox в двух точках. Значение 25 является полным квадратом, значит дальнейшее вычисление корней будет без иррациональности.

Частая ошибка

Частая ошибка — потерять знак коэффициента b и считать (-7)^2 как -49. Вторая ошибка — забыть множитель 4 в выражении 4ac. Иногда коэффициенты берут из уравнения, не приведенного к виду ax^2+bx+c=0; тогда c или b оказываются неверными. Еще одна ловушка — при D<0 продолжать искать действительные корни по школьной формуле без замечания, что в действительных числах корней нет.

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

  • Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра. 8 класс, раздел «Квадратные уравнения»
  • ФИПИ: кодификатор ОГЭ по математике, квадратные уравнения
  • ФИПИ: кодификатор ЕГЭ по математике, уравнения и неравенства
  • Ван дер Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука, главы о древней алгебре

Связанные формулы

Математика

Корни квадратного уравнения

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

Формула корней квадратного уравнения выражает решения ax^2+bx+c=0 через коэффициенты a, b и дискриминант D, если a не равно нулю.

Математика

Корни приведенного квадратного уравнения

$x^2+px+q=0,\quad x_{1,2}=\frac{-p\pm\sqrt{p^2-4q}}{2}$

Приведенное квадратное уравнение имеет коэффициент 1 при x², поэтому формула корней записывается через p и q и напрямую связывается с теоремой Виета.

Математика

Неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0

$ax^2+bx=0\quad\Rightarrow\quad x(ax+b)=0$

Неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 решается вынесением общего множителя x за скобки; так сразу видны корень x = 0 и корень линейного множителя.

Математика

Теорема Виета для квадратного уравнения

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a},\quad x_1x_2 = \frac{c}{a}$

Теорема Виета выражает сумму и произведение корней квадратного уравнения через его коэффициенты без отдельного вычисления каждого корня.

Математика

Абсцисса вершины параболы

$x_0=-\frac{b}{2a}$

Абсцисса вершины параболы y = ax^2 + bx + c равна -b/(2a) и показывает, при каком x квадратичная функция достигает вершины.