Все формулы РФ

Математика / Алгебра

Разложение квадратного трехчлена на множители

Если x_1 и x_2 - корни уравнения ax^2+bx+c=0, то трехчлен обращается в ноль при x=x_1 и x=x_2, поэтому записывается как a(x-x_1)(x-x_2).

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаОГЭФормулы по математике за 8 классАлгебраДискриминант, корниМногочлены, разложение на множителиЕсть историческая справка

Формула

$$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$$
Корни и множители Каждый корень дает свою скобку

На оси отмечены x1 и x2; рядом показано разложение a(x-x1)(x-x2), где в каждой скобке стоит расстояние от x до корня.

Корни уравнения превращаются в линейные множители квадратного трехчлена.

Обозначения

a, b, c
коэффициенты квадратного трехчлена, a не равно 0
$x_1, x_2$
корни уравнения ax^2 + bx + c = 0
$a(x-x_1)(x-x_2)$
разложение через линейные множители

Условия применения

  • Квадратное уравнение ax^2 + bx + c = 0 имеет корни x1 и x2.
  • Старший коэффициент a не равен нулю.
  • Если корень один двойной, формула записывается как a(x-x1)^2.

Ограничения

  • Если действительных корней нет, разложение на линейные действительные множители невозможно.
  • Нельзя забывать множитель a перед скобками.
  • Если корни найдены с ошибкой, разложение тоже будет неверным; его нужно проверять раскрытием скобок.

Подробное объяснение

Корень многочлена - это такое значение x, при котором многочлен равен нулю. Если x1 является корнем квадратного трехчлена, то множитель x - x1 входит в его разложение. Если есть два корня, появляются два линейных множителя.

Множитель a нужен для сохранения старшего коэффициента. Произведение (x-x1)(x-x2) всегда начинается с x^2. Если исходный трехчлен начинается с ax^2, нужно умножить все произведение на a.

Формула помогает перейти от решения уравнения к работе с выражением. Уравнение дает отдельные числа x1 и x2, а разложение показывает структуру всего трехчлена. Это полезно при сокращении дробей и решении неравенств.

Если дискриминант равен нулю, оба корня совпадают. Тогда разложение имеет вид a(x-x1)^2. Если дискриминант отрицателен, действительных корней нет, и в школьном курсе такое выражение не раскладывают на линейные действительные множители.

Важный контроль - раскрыть скобки обратно. Если после раскрытия не получается исходный трехчлен, чаще всего потерян множитель a или перепутаны знаки в скобках.

Как пользоваться формулой

  1. Найдите корни квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0.
  2. Запишите множители x - x1 и x - x2.
  3. Не забудьте умножить произведение на старший коэффициент a.
  4. Если корень двойной, используйте квадрат одной скобки.
  5. Проверьте разложение раскрытием скобок.

Историческая справка

Связь корней и множителей является одной из центральных идей алгебры многочленов. Она выросла из практики решения уравнений и постепенного понимания, что уравнение и выражение можно изучать вместе. Для квадратных трехчленов эта связь особенно наглядна: два корня дают две линейные скобки. В алгебре нового времени, особенно после развития буквенной записи, такие связи стали формулировать в общем виде, а не только на числовых примерах. В более общей алгебре похожие идеи развиваются для многочленов более высоких степеней и приводят к теоремам о корнях многочленов. В школьном курсе 8 класса разложение квадратного трехчлена готовит к рациональным выражениям, неравенствам и графику квадратичной функции.

Пример

Разложим 2x^2 - 10x + 12. Дано квадратное выражение, нужно представить его в виде произведения. Сначала найдем корни уравнения 2x^2 - 10x + 12 = 0. Разделим на 2: x^2 - 5x + 6 = 0. Корни равны 2 и 3. Тогда исходный трехчлен раскладывается так: 2(x - 2)(x - 3). Проверим раскрытием: (x - 2)(x - 3) = x^2 - 5x + 6, умножаем на 2 и получаем 2x^2 - 10x + 12. Множитель 2 сохраняется, потому что исходный старший коэффициент был равен 2. Такая проверка показывает, что разложение не изменило выражение, а только переписало его в более удобной форме.

Частая ошибка

Частая ошибка — забыть старший коэффициент a и записать только (x-x1)(x-x2). Для трехчлена 2x^2 - 10x + 12 это даст x^2 - 5x + 6, а не исходное выражение. Вторая ошибка — менять знаки в скобках: если корень 2, множитель x - 2, а не x + 2. Третья ошибка — пытаться разложить через действительные линейные множители трехчлен с отрицательным дискриминантом. Еще одна ошибка — не проверять разложение раскрытием скобок.

Практика

Задачи с решением

Разложить приведенный трехчлен

Условие. Разложите x^2 - 7x + 10.

Решение. Корни уравнения x^2 - 7x + 10 = 0 равны 2 и 5. Значит x^2 - 7x + 10 = (x - 2)(x - 5).

Ответ. (x - 2)(x - 5)

Не забыть старший коэффициент

Условие. Разложите 3x^2 - 12x + 9.

Решение. Сначала 3(x^2 - 4x + 3). Корни внутреннего трехчлена 1 и 3. Значит разложение: 3(x - 1)(x - 3).

Ответ. 3(x - 1)(x - 3)

Дополнительные источники

  • Алгебра 8 класса: квадратные трехчлены и разложение на множители
  • OpenStax Elementary Algebra 2e, раздел Factoring Trinomials and Quadratic Equations

Связанные формулы

Математика

Корни приведенного квадратного уравнения

$x^2+px+q=0,\quad x_{1,2}=\frac{-p\pm\sqrt{p^2-4q}}{2}$

Приведенное квадратное уравнение имеет коэффициент 1 при x², поэтому формула корней записывается через p и q и напрямую связывается с теоремой Виета.