Корни приведенного квадратного уравнения

Как пользоваться формулой

1. Проверьте, что уравнение имеет вид x^2 + px + q = 0.
2. Определите p и q с учетом знаков.
3. Вычислите p^2 - 4q.
4. Если дискриминант неотрицателен, подставьте значения в формулу корней.
5. Проверьте ответ по теореме Виета или подстановкой.

Историческая справка

Приведенные квадратные уравнения исторически удобны потому, что старший коэффициент не мешает видеть связь корней и коэффициентов. В старой алгебраической практике многие задачи сначала приводили к виду, где коэффициент при квадрате равен единице, а затем подбирали числа по сумме и произведению. Франсуа Виет в конце XVI века сделал большой шаг к буквенной алгебре, где связи между коэффициентами и корнями можно записывать общо. Современная формула через p и q является компактной версией общей формулы корней. В школьном курсе она помогает связать дискриминант, формулу корней и теорему Виета в одну систему, а не изучать их как отдельные приемы. Для ученика это еще и удобный переход от вычисления корней к анализу коэффициентов.

Пример

Решим x^2 - 5x + 6 = 0. Дано приведенное квадратное уравнение, потому что коэффициент при x^2 равен 1. Здесь p = -5, q = 6. Дискриминант приведенного уравнения: p^2 - 4q = (-5)^2 - 4*6 = 25 - 24 = 1. Тогда x = (-p +- \sqrt{1})/2 = (5 +- 1)/2. Получаем x1 = 3, x2 = 2. Проверка подстановкой: 3^2 - 5*3 + 6 = 0 и 2^2 - 5*2 + 6 = 0. Теорема Виета дает еще одну проверку: сумма корней 3+2=5 равна -p, произведение 3*2=6 равно q. Поэтому ответ согласован и с формулой корней, и со связью корней с коэффициентами.

Частая ошибка

Частая ошибка — подставлять p без знака. В уравнении x^2 - 5x + 6 = 0 коэффициент p равен -5, а не 5. Вторая ошибка — применять формулу к уравнению 2x^2 + px + q = 0, не разделив все уравнение на 2. Третья ошибка — забывать, что под корнем стоит p^2 - 4q, а не p^2 + 4q. Еще одна ошибка — находить корни и не проверять их по Виету или подстановкой.