Математика / Алгебра

Вынесение множителя из-под квадратного корня

Вынесение множителя из-под корня отделяет полный квадрат внутри подкоренного выражения и превращает его в множитель перед корнем.

Опубликовано: 13 мая 2026 г.Обновлено: 13 мая 2026 г.

Школьная программа ОГЭ Формулы по математике за 8 класс Алгебра Квадратные корни, свойства корней Есть историческая справка

Формула

\sqrt{a^2b}=|a|\sqrt{b},\quad b\ge 0

Разложение множителей Полный квадрат выходит из-под корня

Подкоренное число 72 показано как 36 * 2; 36 выходит наружу как 6, а 2 остается под корнем.

Ищем квадратный множитель, который можно извлечь точно.

Обозначения

$a^2$: полный квадрат под корнем
$b$: оставшаяся неотрицательная часть под корнем
$|a|$: неотрицательное значение вынесенного множителя

Условия применения

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
Часть, остающаяся под корнем, должна быть неотрицательной.
Если множитель a может быть отрицательным, при вынесении появляется модуль.

Ограничения

Нельзя выносить множитель из суммы: \sqrt{a^2+b} не равно a+\sqrt{b}.
Для числовых выражений нужно искать именно квадратный множитель: 4, 9, 16, 25 и так далее.
Если переменная может иметь любой знак, запись без модуля может быть неверной.

Подробное объяснение

Вынесение множителя опирается на свойство корня из произведения: \sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b} при неотрицательных a и b. Если внутри корня есть полный квадрат, его корень можно вычислить и записать перед знаком радикала.

Числовой алгоритм такой: разложить подкоренное число на произведение, где один множитель является наибольшим квадратом. Для 72 это 36*2, для 98 это 49*2, для 200 это 100*2. Чем крупнее квадратный множитель найден, тем короче итоговая запись.

С буквенными выражениями нужна осторожность. Арифметический квадратный корень неотрицателен, поэтому \sqrt{x^2} = |x|. Если в задаче заранее сказано, что x >= 0, модуль можно заменить на x. Если x < 0, модуль равен -x.

Прием важен для дальнейшего сложения корней. Только после вынесения множителей можно увидеть, что 3\sqrt{2} и 5\sqrt{2} являются подобными корнями, а \sqrt{8} и \sqrt{18} сначала нужно преобразовать.

Перед финальным ответом полезно проверить, нельзя ли вынести еще один квадратный множитель. Например, запись 2\sqrt{18} не окончательна, потому что \sqrt{18}=3\sqrt{2}, значит весь результат можно упростить до 6\sqrt{2}.

Как пользоваться формулой

Разложите подкоренное выражение на множители.
Найдите полный квадрат внутри подкоренного выражения.
Извлеките корень из полного квадрата.
Оставшуюся часть запишите под корнем.
Для переменных учитывайте модуль или условия на знак.

Историческая справка

Преобразования радикалов были важны еще до появления калькуляторов: точные корни нужно было упрощать вручную, чтобы сравнивать выражения и продолжать вычисления. В алгебраической традиции такие приемы стали частью техники работы с иррациональными числами. Вынесение множителя из-под корня особенно полезно в школьном курсе, потому что оно показывает структуру числа: под радикалом могут скрываться полные квадраты. С развитием печатных учебников алгебры в XVIII-XIX веках такие правила стали стандартной частью упражнений на радикалы. Исторически это продолжение идеи разложения на множители, знакомой из арифметики и алгебры многочленов. Поэтому прием связывает вычислительную практику и алгебраическую форму записи.

Пример

Упростим \sqrt{72}. Дано число 72, нужно вынести из-под корня самый крупный полный квадрат. Разложим 72 = 36 * 2. Число 36 - полный квадрат, поэтому \sqrt{72} = \sqrt{36*2} = \sqrt{36}\sqrt{2} = 6\sqrt{2}. Проверка численно: 6\sqrt{2} при возведении в квадрат дает 36*2 = 72, значит преобразование сохраняет значение. Если бы было \sqrt{x^2*5}, то результат в общем случае |x|\sqrt{5}. Только если по условию x >= 0, можно писать x\sqrt{5}. Именно эта тонкость отличает аккуратное преобразование от неполного школьного шаблона.

Частая ошибка

Частая ошибка — выносить множитель из-под корня из суммы, например писать \sqrt{16+9}=4+3. На самом деле \sqrt{25}=5, а 4+3=7. Вторая ошибка — забывать модуль при переменной: \sqrt{x^2} = |x|. Третья ошибка — выносить не самый большой квадратный множитель и останавливаться слишком рано. Например, \sqrt{72} можно превратить в 2\sqrt{18}, но выражение еще не упрощено до конца, потому что 18 содержит множитель 9.

Практика

Задачи с решением

Упростить числовой корень

Условие. Вынесите множитель из-под корня: \sqrt{98}.

Решение. 98 = 49 * 2. \sqrt{98} = \sqrt{49}\sqrt{2} = 7\sqrt{2}.

Ответ. 7\sqrt{2}

Корень с переменной

Условие. Упростите \sqrt{25x^2} при любом действительном x.

Решение. \sqrt{25x^2} = 5\sqrt{x^2} = 5|x|.

Ответ. 5|x|

Дополнительные источники

Алгебра 8 класса: преобразование выражений с квадратными корнями
OpenStax Elementary Algebra 2e, раздел Simplify Radical Expressions

Связанные формулы

Математика

Свойство квадратного корня из произведения

$\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b},\quad a \ge 0,\ b \ge 0$

Квадратный корень из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней.

Математика

Внесение множителя под квадратный корень

$a\sqrt{b}=\sqrt{a^2b}\quad\text{при }a\ge 0,\;b\ge 0$

Внесение множителя под корень заменяет множитель перед радикалом его квадратом под знаком корня: например, 3\sqrt{5}=\sqrt{45}.

Математика

Сложение подобных квадратных корней

$k\sqrt{a}+m\sqrt{a}=(k+m)\sqrt{a},\quad a\ge 0$

Подобные квадратные корни имеют одинаковую подкоренную часть, поэтому складываются их коэффициенты перед корнем; правило помогает упрощать суммы радикалов после вынесения множителей.