Все формулы РФ

Математика / Алгебра

Внесение множителя под квадратный корень

Внесение множителя под корень заменяет множитель перед радикалом его квадратом под знаком корня: например, 3\sqrt{5}=\sqrt{45}.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаОГЭФормулы по математике за 8 классАлгебраКвадратные корни, свойства корнейЕсть историческая справка

Формула

$$a\sqrt{b}=\sqrt{a^2b}\quad\text{при }a\ge 0,\;b\ge 0$$
Обратное преобразование Множитель становится квадратом

Запись 4\sqrt{3} стрелкой переводится в \sqrt{4^2*3}, затем в \sqrt{48}.

Под корень входит квадрат множителя, а не сам множитель.

Обозначения

$a$
множитель перед корнем
$b$
подкоренное выражение
$a^2b$
новое подкоренное выражение после внесения множителя

Условия применения

  • Множитель a должен быть неотрицательным, если его вносят без изменения знака.
  • Подкоренное выражение b должно быть неотрицательным.
  • Если множитель отрицателен, знак минус оставляют перед корнем, а под корень вносят его модуль.

Ограничения

  • Нельзя вносить под корень слагаемое, которое не является множителем всего выражения.
  • Если перед корнем стоит отрицательный множитель, запись требует отдельной обработки знака.
  • Внесение под корень не всегда упрощает выражение; иногда оно делает запись менее удобной.

Подробное объяснение

Внесение множителя под корень является обратным действием к вынесению множителя. Если \sqrt{a^2b} = a\sqrt{b} при a >= 0, то можно читать равенство в другую сторону: a\sqrt{b} = \sqrt{a^2b}.

Главная причина появления квадрата - корень и квадрат взаимно связаны. Чтобы множитель a вышел из-под квадратного корня как a, внутри он должен стоять как a^2. Поэтому 5\sqrt{2} становится \sqrt{25*2}, а не \sqrt{10}.

Прием полезен для сравнения выражений. Например, чтобы сравнить 2\sqrt{7} и 3\sqrt{3}, можно внести множители под корень: 2\sqrt{7} = \sqrt{28}, 3\sqrt{3} = \sqrt{27}. Значит 2\sqrt{7} немного больше.

С отрицательными множителями нужно помнить, что арифметический корень неотрицателен. Минус перед выражением сохраняется снаружи. Это правило предотвращает потерю знака при преобразованиях.

В задачах на упрощение внесение под корень обычно не является финальным действием: оно нужно для сравнения, доказательства или приведения выражений к общему виду. Если требуется именно простейшая запись, после сравнения часто снова выносят квадратные множители.

Как пользоваться формулой

  1. Проверьте знак множителя перед корнем.
  2. Если множитель неотрицателен, возведите его в квадрат.
  3. Умножьте этот квадрат на подкоренное выражение.
  4. Запишите результат под одним корнем.
  5. Если множитель отрицателен, минус оставьте перед корнем.

Историческая справка

Внесение множителя под корень развивалось как часть общей техники работы с радикалами. В ручных вычислениях было важно уметь переходить между разными формами записи: одна форма удобнее для сложения, другая - для сравнения или доказательства. После распространения символической алгебры такие переходы стали записывать короткими равенствами, а не длинными словесными рассуждениями. В школьной алгебре этот прием ценен как обратное действие к вынесению множителя. Он учит не заучивать одну сторону формулы, а видеть равенство как связь, которую можно использовать в обе стороны при соблюдении условий. Так радикалы становятся не отдельным приемом счета, а частью общей алгебраической грамматики.

Историческая линия формулы

У приема внесения множителя под корень нет одного автора. Это обратное применение свойства корня из произведения и часть исторически сложившейся алгебраической техники преобразования радикалов; его корректность держится на неотрицательности внесенного множителя.

Пример

Запишем 4\sqrt{3} под одним корнем. Дано произведение положительного числа 4 и корня \sqrt{3}; нужно получить один радикал. Так как 4 >= 0, можно внести множитель: 4\sqrt{3} = \sqrt{4^2 * 3} = \sqrt{16 * 3} = \sqrt{48}. Проверка обратным действием: из \sqrt{48}=\sqrt{16*3} можно вынести 16 и снова получить 4\sqrt{3}. Если выражение -4\sqrt{3}, то нельзя просто написать \sqrt{48}, потому что корень неотрицателен. Правильно оставить минус: -4\sqrt{3} = -\sqrt{48}. Поэтому перед внесением множителя всегда проверяют знак множителя перед корнем.

Частая ошибка

Частая ошибка — вносить отрицательный множитель и терять знак: -2\sqrt{5} не равно \sqrt{20}, потому что правая часть положительна, а левая отрицательна. Вторая ошибка — вместо квадрата множителя помещать под корень сам множитель: 3\sqrt{2} превращать в \sqrt{6}, хотя должно быть \sqrt{18}. Третья ошибка — считать внесение под корень обязательным упрощением. Часто запись 3\sqrt{2} понятнее, чем \sqrt{18}.

Практика

Задачи с решением

Внести положительный множитель

Условие. Запишите 5\sqrt{2} под одним корнем.

Решение. 5\sqrt{2} = \sqrt{5^2 * 2} = \sqrt{50}.

Ответ. \sqrt{50}

Сохранить отрицательный знак

Условие. Запишите -3\sqrt{7} через один корень, сохранив знак.

Решение. Минус остается снаружи: -3\sqrt{7} = -\sqrt{3^2 * 7} = -\sqrt{63}.

Ответ. -\sqrt{63}

Дополнительные источники

  • Алгебра 8 класса: преобразования квадратных корней
  • OpenStax Elementary Algebra 2e, раздел Radical Expressions

Связанные формулы

Математика

Сложение подобных квадратных корней

$k\sqrt{a}+m\sqrt{a}=(k+m)\sqrt{a},\quad a\ge 0$

Подобные квадратные корни имеют одинаковую подкоренную часть, поэтому складываются их коэффициенты перед корнем; правило помогает упрощать суммы радикалов после вынесения множителей.