Математика / Пределы, ряды

Частные производные функции двух переменных

Частная производная показывает скорость изменения функции по одной переменной при фиксированной второй переменной, то есть локальный наклон сечения поверхности.

Опубликовано: 13 мая 2026 г.Обновлено: 13 мая 2026 г.

Формула

f_x(a,b)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h},\quad f_y(a,b)=\lim_{k\to0}\frac{f(a,b+k)-f(a,b)}{k}

Схема Сечения поверхности

Частная производная по x берется вдоль сечения y=const, а частная производная по y - вдоль сечения x=const.

Обозначения

$f_x(a,b)$: производная по x, число
$f_y(a,b)$: производная по y, число
$h,k$: малые инкременты, число

Условия применения

Функция должна быть определена при фиксированной второй переменной
Нужны соответствующие однопеременные пределы
Лучше иметь локальную дифференцируемость

Ограничения

Существование частных производных не гарантирует дифференцируемость
На разрывных участках производные отсутствуют
Для глобального анализа нужен анализ второй производной

Подробное объяснение

Частная производная переводит многомерную задачу в одномерную, но только на мгновение. Чтобы найти f_x, мы мысленно разрезаем поверхность плоскостью y=b и смотрим, как меняется высота z=f(x,b) вдоль оси x. Чтобы найти f_y, фиксируем x=a и смотрим на сечение вдоль оси y. Поэтому частные производные дают два базовых наклона поверхности в координатных направлениях.

Их важно не путать с полной производной. Частная производная отвечает на вопрос: что произойдет, если изменить только один аргумент, удерживая остальные неизменными. Если обе переменные меняются одновременно, нужны градиент, направленная производная или полный дифференциал. В таблицах данных это похоже на проверку чувствительности модели: меняем один фактор, остальные оставляем как были. В геометрии частные производные становятся коэффициентами касательной плоскости, а в оптимизации они входят в условия стационарной точки.

Как пользоваться формулой

Выберите переменную, по которой нужно дифференцировать.
Все остальные переменные временно считайте постоянными параметрами.
Примените обычные правила производной одной переменной.
Подставьте точку только после дифференцирования, если нужно численное значение.

Историческая справка

Частные производные появились как естественное расширение дифференциального исчисления на функции нескольких величин. Уже в XVIII веке задачи механики, астрономии и геометрии требовали учитывать несколько независимых координат. В таких задачах нельзя было ограничиться одной переменной: положение тела, температура, потенциал или геометрическая поверхность зависят от нескольких параметров.

Развитие обозначений и правил шло вместе с математической физикой. Символика частных производных стала особенно важной в дифференциальных уравнениях, вариационном исчислении и теории полей. В современном курсе частные производные служат первым практическим шагом от анализа одной переменной к векторному анализу и оптимизации многих переменных.

Историческая линия формулы

У частных производных нет одного изобретателя в школьном смысле. Их формирование связано с развитием анализа, механики и математической физики XVIII-XIX веков; корректно говорить о научной традиции, а не о персональном авторстве формулы.

Пример

Пример 1. Пусть f(x,y)=x^2y+3y. Частная производная по x равна f_x=2xy, потому что y считается постоянной. Частная производная по y равна f_y=x^2+3, потому что x считается постоянной. Пример 2. В точке (2,1) получаем f_x(2,1)=4 и f_y(2,1)=7. Это означает: при малом увеличении x около этой точки значение функции растет примерно на 4 единицы на каждый единичный прирост x, а при малом увеличении y - примерно на 7 единиц на каждый единичный прирост y. Контроль: не нужно дифференцировать сразу по двум переменным одновременно, каждая частная производная фиксирует свое направление изменения.

Частая ошибка

Часто забывают, что при вычислении f_x переменная y временно играет роль константы, а при вычислении f_y константой становится x. Еще одна ошибка - считать существование частных производных достаточным для дифференцируемости функции: в многомерном анализе частные производные могут существовать, но функция все равно не иметь хорошего линейного приближения.

Практика

Задачи с решением

Найти fx, fy

Условие. f(x,y)=x^2 y+y^3, точка (1,2)

Решение. f_x=2xy=4, f_y=x^2+3y^2=13.

Ответ. (4,13)

Произведение

Условие. f(x,y)=x e^y

Решение. f_x=e^y, f_y=x e^y.

Ответ. (e^y, x e^y)

Дополнительные источники

Apostol, Calculus, Volume II: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications to Differential Equations and Probability
Marsden, Tromba, Vector Calculus

Связанные формулы

Математика

Касательная к графику функции

$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$

Уравнение касательной строится по точке касания и производной в этой точке. Это первая локальная модель функции и основной мост к линейным приближениям.

Математика

Градиент функции двух переменных

$\nabla f(a,b)=(f_x(a,b), f_y(a,b))$

Градиент собирает частные производные в вектор и показывает направление наибольшего локального роста функции двух переменных.

Математика

Производная через предел разностного отношения

$f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

Производная в точке задается пределом разностного отношения и описывает мгновенную скорость изменения функции. Без этой предельной записи производная превращается в набор правил, а не в проверяемое понятие.

Математика

Полный дифференциал функции двух переменных

$df(a,b)=f_x(a,b)\,dx+f_y(a,b)\,dy$

Полный дифференциал задает линейную главную часть изменения функции при малых одновременных изменениях x и y.