Все формулы РФ

Математика / Прямые, плоскости

Аффинное преобразование точки

Аффинное преобразование точки состоит из линейного преобразования A и последующего сдвига b, сохраняя прямые и отношения точек на одной прямой.

Опубликовано: Обновлено:

Аналитическая геометрияМетод координатПреобразование координатАффинные преобразованияЛинейные отображения

Формула

$$\mathbf{x}'=A\mathbf{x}+\mathbf{b}$$
affine-map Визуальное пояснение

Линейная часть деформирует направления, а вектор b переносит весь результат.

Аффинное преобразование: матрица плюс сдвиг.

Обозначения

$\mathbf{x}$
исходный координатный вектор точки, единицы длины
$A$
матрица линейной части преобразования, безразмерно или по задаче
$\mathbf{b}$
вектор сдвига, единицы длины

Условия применения

  • Размерность матрицы A согласована с размерностью точки.
  • Вектор b имеет ту же размерность, что и образ точки.
  • Для сохранения обратимости матрица A должна быть невырожденной.

Ограничения

  • Аффинное преобразование не обязано сохранять длины и углы.
  • Если матрица A вырождена, разные точки могут перейти в одну и ту же точку.
  • Параллельность прямых сохраняется, но окружности могут перейти в эллипсы.

Подробное объяснение

Линейная часть A отвечает за поворот, растяжение, сдвиг направлений или проекцию, а вектор b переносит результат. Именно добавление b отличает общее аффинное преобразование от чисто линейного. При этом прямые остаются прямыми, потому что параметрическая запись точки на прямой сохраняет линейную зависимость от параметра. Координатные и аффинные преобразования нужны для того, чтобы описывать один и тот же геометрический объект в удобной системе отсчета. Перенос меняет начало координат, поворот меняет направление осей, масштабирование меняет единицы вдоль осей, а аффинное преобразование объединяет линейную часть и сдвиг. В аналитической геометрии это не декоративный прием: правильно выбранное преобразование упрощает уравнение прямой, плоскости, коники или поверхности второго порядка и позволяет увидеть, какие свойства сохраняются. Поэтому каждую формулу нужно сопровождать проверкой: что именно сохраняется, что меняется и можно ли вернуться обратно. Для этой страницы главная проверка такая: образ середины отрезка должен совпадать с серединой образов его концов. Если проверка не проходит, значит перепутан знак, порядок матричного умножения или смысл преобразования.

Как пользоваться формулой

  1. Запишите точку вектором-столбцом.
  2. Умножьте матрицу A на этот вектор.
  3. Прибавьте вектор сдвига b.
  4. Проверьте размерности и при необходимости сохранение прямых или отношений.

Историческая справка

Аффинные преобразования стали общим языком для геометрии, где важны прямые, параллельность и отношения, но не обязательно длины и углы. Исторически эти формулы продолжают линию координатного метода, связанную с Рене Декартом и Пьером Ферма: геометрические задачи переводятся на язык чисел и уравнений. Позже, с развитием линейной алгебры, стало ясно, что переносы, повороты, масштабирования и более общие аффинные преобразования удобно записывать через матрицы и векторы. Барицентрические координаты связаны с классической геометрией масс и центров тяжести, а инварианты расстояний и углов стали важной частью строгого описания евклидовой геометрии. Современная учебная форма этих записей является итогом общей традиции, а не результатом одного изолированного открытия.

Историческая линия формулы

У формулы нет единственного автора в современном учебном смысле. Корректнее связывать ее с развитием координатного метода у Декарта и Ферма, а матричную запись - с более поздней традицией линейной алгебры и аналитической геометрии.

Пример

Пусть A=[[2,0],[0,3]], b=(1,-1). Точка x=(4,2) переходит в x'=(2·4+1,3·2-1)=(9,5). Отрезок между двумя точками после такого преобразования остается отрезком, а середина переходит в середину образов, но длина по направлениям x и y меняется по-разному. После вычисления полезно выполнить обратный ход или проверить инвариант. Например, после переноса можно вернуться к старым координатам, после поворота проверить длину вектора, а после барицентрического разложения убедиться, что сумма коэффициентов равна единице. Такая проверка особенно важна, потому что ошибки знака в преобразованиях часто дают внешне правдоподобный ответ.

Частая ошибка

Частая ошибка - забыть вектор b и применять только матрицу. Тогда преобразование ошибочно оставляет начало координат на месте. Еще одна ошибка - менять порядок: A(x+b) обычно не равно Ax+b. Еще одна частая ошибка - смешивать преобразование точки и преобразование системы координат. При активном преобразовании точка реально перемещается, а при смене координат меняется способ описания той же точки. Формулы похожи, но знаки угла или сдвига могут отличаться. Перед решением нужно явно зафиксировать, какой смысл используется в задаче.

Практика

Задачи с решением

Найти образ точки

Условие. A=[[1,2],[0,1]], b=(3,-1), x=(2,4). Найдите x'.

Решение. Ax=(10,4), затем Ax+b=(13,3).

Ответ. (13,3)

Проверить образ начала

Условие. При x'=Ax+b куда переходит начало координат?

Решение. Для x=0 получаем x'=b. Значит начало переходит в вектор сдвига.

Ответ. в точку b

Дополнительные источники

  • MIT OpenCourseWare. Linear Algebra and Multivariable Calculus, coordinate transformations.
  • OpenStax. Calculus Volume 3, Vectors and the Geometry of Space.

Связанные формулы

Математика

Обратное аффинное преобразование

$\mathbf{x}=A^{-1}(\mathbf{x}'-\mathbf{b}),\quad \det A\ne0$

Обратное аффинное преобразование восстанавливает исходную точку из образа, если матрица линейной части A невырождена и обратима.

Математика

Масштабирование координат

$x'=k_xx,\quad y'=k_yy,\quad z'=k_zz$

Масштабирование координат умножает каждую координату на свой коэффициент и растягивает или сжимает объект вдоль выбранных осей.

Математика

Матрица поворота вокруг оси z

$\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta&0\\\sin\theta&\cos\theta&0\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$

Матрица поворота вокруг оси z активно поворачивает точку в плоскости xy на угол θ, оставляя координату z неизменной и сохраняя длины.

Математика

Перенос начала координат в пространстве

$x'=x-a,\quad y'=y-b,\quad z'=z-c$

Перенос начала координат в пространстве заменяет старые координаты точки на новые относительно начала O'(a,b,c), не меняя саму геометрию.