Все формулы РФ

Математика / Прямые, плоскости

Поворот координат на плоскости

Поворот координат на плоскости описывает координаты той же точки в системе осей, повернутой на угол α относительно старой системы.

Опубликовано: Обновлено:

Аналитическая геометрияМетод координатПреобразование координатОртогональные преобразованияГеометрия на плоскости

Формула

$$x'=x\cos\alpha+y\sin\alpha,\quad y'=-x\sin\alpha+y\cos\alpha$$
coordinate-rotation-plane Визуальное пояснение

Точка остается на месте, а новые оси повернуты; координаты становятся проекциями на новые направления.

Поворот системы координат сохраняет расстояния.

Обозначения

$x,y$
старые координаты точки, единицы длины
$x',y'$
координаты той же точки в повернутой системе, единицы длины
$\alpha$
угол поворота новых осей, радианы

Условия применения

  • Начало координат не переносится.
  • Оси поворачиваются как система координат, а не точка как объект.
  • Масштаб по обеим осям сохраняется.

Ограничения

  • Для активного поворота точки на угол α используется матрица с другим расположением знаков.
  • Если одновременно нужен перенос центра, его выполняют отдельным шагом.
  • Угол должен быть согласован с направлением положительного поворота.

Подробное объяснение

Новые координаты являются проекциями старого радиус-вектора на новые оси. Новая ось x' имеет направление (cos α, sin α), поэтому x'=x cos α+y sin α. Новая ось y' перпендикулярна ей и имеет направление (-sin α, cos α), что дает вторую формулу. Координатные и аффинные преобразования нужны для того, чтобы описывать один и тот же геометрический объект в удобной системе отсчета. Перенос меняет начало координат, поворот меняет направление осей, масштабирование меняет единицы вдоль осей, а аффинное преобразование объединяет линейную часть и сдвиг. В аналитической геометрии это не декоративный прием: правильно выбранное преобразование упрощает уравнение прямой, плоскости, коники или поверхности второго порядка и позволяет увидеть, какие свойства сохраняются. Поэтому каждую формулу нужно сопровождать проверкой: что именно сохраняется, что меняется и можно ли вернуться обратно. Для этой страницы главная проверка такая: длина вектора до точки должна сохраниться: x²+y²=x'²+y'². Если проверка не проходит, значит перепутан знак, порядок матричного умножения или смысл преобразования.

Как пользоваться формулой

  1. Определите, идет речь о повороте координат или о повороте точки.
  2. Подставьте угол α в синусы и косинусы.
  3. Вычислите новые координаты через проекции на новые оси.
  4. Проверьте сохранение длины радиус-вектора.

Историческая справка

Повороты осей стали важным инструментом при приведении коник и квадратичных форм к главным осям. Исторически эти формулы продолжают линию координатного метода, связанную с Рене Декартом и Пьером Ферма: геометрические задачи переводятся на язык чисел и уравнений. Позже, с развитием линейной алгебры, стало ясно, что переносы, повороты, масштабирования и более общие аффинные преобразования удобно записывать через матрицы и векторы. Барицентрические координаты связаны с классической геометрией масс и центров тяжести, а инварианты расстояний и углов стали важной частью строгого описания евклидовой геометрии. Современная учебная форма этих записей является итогом общей традиции, а не результатом одного изолированного открытия.

Историческая линия формулы

У формулы нет единственного автора в современном учебном смысле. Корректнее связывать ее с развитием координатного метода у Декарта и Ферма, а матричную запись - с более поздней традицией линейной алгебры и аналитической геометрии.

Пример

Пусть точка P(1,0), а новые оси повернуты на α=π/2. Тогда x'=1·0+0·1=0, y'=-1·1+0·0=-1. Это нормально: сама точка осталась справа от старого начала, но в новой системе, повернутой против часовой стрелки, она имеет отрицательную координату по новой оси y'. После вычисления полезно выполнить обратный ход или проверить инвариант. Например, после переноса можно вернуться к старым координатам, после поворота проверить длину вектора, а после барицентрического разложения убедиться, что сумма коэффициентов равна единице. Такая проверка особенно важна, потому что ошибки знака в преобразованиях часто дают внешне правдоподобный ответ.

Частая ошибка

Главная ошибка - использовать формулу активного поворота вместо формулы поворота координат. В результате знак синуса меняется, и коника поворачивается в противоположную сторону. Также часто забывают, что угол для устранения xy обычно выбирается из отдельной формулы. Еще одна частая ошибка - смешивать преобразование точки и преобразование системы координат. При активном преобразовании точка реально перемещается, а при смене координат меняется способ описания той же точки. Формулы похожи, но знаки угла или сдвига могут отличаться. Перед решением нужно явно зафиксировать, какой смысл используется в задаче.

Практика

Задачи с решением

Поворот осей на 90 градусов

Условие. Найдите новые координаты точки (1,0), если оси повернуты на π/2.

Решение. x'=0, y'=-1.

Ответ. (0,-1)

Проверка длины

Условие. Точка (3,4) повернута как координаты на любой угол. Чему равна x'²+y'²?

Решение. Поворот сохраняет длину, поэтому x'²+y'²=3²+4²=25.

Ответ. 25

Дополнительные источники

  • MIT OpenCourseWare. Linear Algebra and Multivariable Calculus, coordinate transformations.
  • OpenStax. Calculus Volume 3, Vectors and the Geometry of Space.

Связанные формулы

Математика

Угол поворота осей для устранения члена xy

$\tan 2\theta = \frac{B}{A-C}$

Поворотом на угол θ убирается смешанный член xy в квадратичной форме второго порядка. Формула "Угол поворота осей для устранения члена xy" помогает перейти от общего уравнения второй степени к читаемому каноническому виду и понять, какая кривая стоит за набором коэффициентов.

Математика

Перенос начала координат в центр коники

$x=X+h,\ y=Y+k;\quad AX^2+BXY+CY^2+J=0$

После нахождения центра (h,k) подстановка x=X+h, y=Y+k удаляет линейные члены X и Y. Формула "Перенос начала координат в центр коники" помогает перейти от общего уравнения второй степени к читаемому каноническому виду и понять, какая кривая стоит за набором коэффициентов.

Математика

Угол между векторами в координатах

$\cos\varphi=\frac{a_xb_x+a_yb_y}{\sqrt{a_x^2+a_y^2}\sqrt{b_x^2+b_y^2}}$

Косинус угла между двумя ненулевыми векторами равен их скалярному произведению, деленному на произведение длин. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла.