Математика / Пределы, ряды

Правило сложной функции

Правило сложной функции, или правило цепочки, говорит: производная внешней функции берется в внутреннем выражении и умножается на производную внутренней функции.

Опубликовано: 13 мая 2026 г.Обновлено: 13 мая 2026 г.

Формула

\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x)

chain-rule Цепочка зависимостей

Схема x -> u=g(x) -> y=f(u) показывает, что общий локальный коэффициент равен произведению двух локальных коэффициентов.

Производная композиции перемножает звенья цепочки.

Обозначения

$g(x)$: внутренняя функция, единицы входа внешней функции
$f(u)$: внешняя функция от промежуточной переменной u, единицы результата
$x$: исходный аргумент, единицы аргумента

Условия применения

Внутренняя функция g должна быть дифференцируема по x.
Внешняя функция f должна быть дифференцируема в точке u=g(x).
Значения g(x) должны попадать в область определения внешней функции.

Ограничения

Нельзя забывать множитель g'(x): именно он учитывает скорость изменения внутреннего аргумента.
Для нескольких вложений правило применяется последовательно от внешнего слоя к внутреннему.
Если композиция нарушает область определения внешней функции, производная там не рассматривается.

Подробное объяснение

Правило цепочки описывает, как локальные скорости изменения умножаются при последовательной зависимости. Если x немного меняется, сначала меняется внутренняя величина u=g(x). Затем изменение u вызывает изменение внешней величины y=f(u). Отношение dy/dx раскладывается как dy/du, умноженное на du/dx. В современной записи это не просто сокращение дифференциалов, а строгая теорема о производной композиции. Практически правило цепочки является языком вложенных причин: температура зависит от высоты, давление зависит от температуры, итоговая величина зависит от давления. Чтобы найти изменение итога по исходному аргументу, нужно перемножить локальные изменения вдоль всей цепи. В элементарном анализе правило объясняет почти все производные сложных выражений: тригонометрические функции от многочленов, логарифмы от дробей, экспоненты от линейных выражений, степени от функций. Без него таблица производных работала бы только для очень узких случаев.

Как пользоваться формулой

Найдите внешний слой функции и обозначьте внутреннее выражение через u.
Возьмите производную внешней функции по u.
Подставьте обратно u=g(x).
Умножьте на производную внутренней функции g'(x).
Для нескольких вложений повторяйте шаги, пока не дойдете до x.

Историческая справка

Правило сложной функции восходит к ранним вычислениям дифференциального исчисления, где изменение одной величины через другую записывали в дифференциальной форме. Лейбницева нотация особенно хорошо передает идею цепочки, потому что выражение dy/dx естественно разлагается через промежуточную переменную. Однако строгая теорема требует аккуратного предельного обоснования, которое сформировалось в классическом анализе XIX века. В дальнейшем правило цепочки стало центральным не только в математическом анализе, но и в механике, термодинамике, статистике, оптимизации и современных вычислительных методах, где функции почти всегда являются композициями.

Историческая линия формулы

Правило связано с лейбницевой традицией дифференциалов и последующей строгой формализацией анализа. Его нельзя честно приписывать одному человеку: современная форма является результатом развития нотации, предельного метода и учебной традиции.

Готфрид Вильгельм Лейбниц 1646-1716 Огюстен Луи Коши 1789-1857

Пример

Пусть y=sin(x^2+1). Внешняя функция f(u)=sin u, внутренняя u=x^2+1. Производная внешней функции равна cos u, а производная внутренней равна 2x. Поэтому y'=cos(x^2+1)·2x. Для y=ln(3x-2) внешняя функция ln u, внутренняя u=3x-2. Получаем y'=1/(3x-2)·3=3/(3x-2), причем область определения требует 3x-2>0. Для y=e^{sin x} внешний слой e^u, внутренний u=sin x. Производная равна e^{sin x}cos x. Если добавить еще один слой, y=e^{sin(x^2)}, появляется произведение трех шагов: e^{sin(x^2)}·cos(x^2)·2x. Каждый множитель отвечает за свой уровень вложения.

Частая ошибка

Главная ошибка - продифференцировать только внешний слой. Например, для sin(x^2) написать cos(x^2) и забыть множитель 2x. Вторая ошибка - перепутать порядок: производная внешней функции должна оставаться вычисленной в g(x), а не в x. Для ln(3x-2) нельзя писать 1/x·3; аргумент логарифма остается 3x-2. В сложных вложениях часто теряют один из множителей цепочки.

Практика

Задачи с решением

Синус от квадрата

Условие. Найдите производную y=sin(x^2).

Решение. Внешняя функция sin u, внутренняя u=x^2. Получаем y'=cos(x^2)·2x=2x cos(x^2).

Ответ. 2x cos(x^2)

Логарифм линейного выражения

Условие. Найдите производную y=ln(5x+1).

Решение. Внешняя функция ln u, внутренняя u=5x+1. Производная равна (1/(5x+1))·5=5/(5x+1).

Ответ. 5/(5x+1)

Дополнительные источники

OpenStax Calculus Volume 1, 3.3 Differentiation Rules
MIT OpenCourseWare 18.01 Single Variable Calculus, differentiation rules
Tom M. Apostol, Calculus, Vol. 1, chapters on differentiation

Связанные формулы

Математика

Производная sin x

$\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$

Производная синуса равна косинусу, если аргумент измеряется в радианах. Радианная мера здесь не техническая мелочь, а условие, без которого формула меняет коэффициент.

Математика

Производная cos x

$\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x$

Производная косинуса равна минус синусу и отражает фазовый сдвиг тригонометрической пары. Знак минус отражает то, что около нуля косинус начинает убывать при движении вправо от максимума.

Математика

Производная e^x

$\frac{d}{dx}e^x=e^x$

Экспонента с основанием e является собственной производной: ее темп роста совпадает с ее значением. Это свойство делает экспоненту естественной моделью процессов, где скорость пропорциональна текущему значению.

Математика

Производная ln x

$\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}$

Производная натурального логарифма равна обратной величине аргумента. Ограничение x>0 в действительном анализе здесь так же важно, как сама формула.

Математика

Логарифмическая производная

$\frac{d}{dx}\ln y=\frac{y'}{y},\quad y'=y\frac{d}{dx}\ln y$

Логарифмическая производная переводит произведения, степени и частные в суммы и разности, а затем возвращает обычную производную умножением на y.