Математика / Пределы, ряды

Правило произведения производных

Производная произведения состоит из двух вкладов: сначала меняется первый множитель при фиксированном втором, затем второй при фиксированном первом.

Опубликовано: 13 мая 2026 г.Обновлено: 13 мая 2026 г.

Формула

\frac{d}{dx}\bigl(f(x)g(x)\bigr)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

product-rule Два вклада изменения произведения

Для прямоугольника со сторонами f и g изменение площади можно разложить на две полосы: изменение первой стороны и изменение второй.

Правило произведения показывает два линейных вклада изменения.

Обозначения

$f(x)$: первый дифференцируемый множитель, единицы первого фактора
$g(x)$: второй дифференцируемый множитель, единицы второго фактора
$x$: аргумент дифференцирования, единицы аргумента

Условия применения

Оба множителя должны быть дифференцируемы в рассматриваемой точке.
Произведение должно быть определено в окрестности точки.
Если один из множителей является сложной функцией, внутри соответствующего вклада дополнительно применяется правило цепочки.

Ограничения

Нельзя умножать производные: обычно (fg)' не равно f'g'.
Если множителей больше двух, правило применяют последовательно или используют обобщенную сумму вкладов.
Если один множитель постоянен, проще использовать правило постоянного множителя.

Подробное объяснение

Правило произведения можно вывести из приращения f(x)g(x). Если добавить и вычесть f(x+h)g(x), разность раскладывается на часть, где меняется f, и часть, где меняется g. После деления на h и перехода к пределу получаются два слагаемых: f'(x)g(x) и f(x)g'(x). Интуитивно произведение меняется не одним способом: может измениться первый множитель при почти фиксированном втором, и может измениться второй при почти фиксированном первом. Величина, где оба множителя меняются одновременно, оказывается малой более высокого порядка и исчезает в пределе. Это правило особенно важно в моделях, где результат является произведением количества и цены, массы и скорости, плотности и объема, амплитуды и формы сигнала. Производная произведения показывает, как общий темп изменения складывается из темпов изменения факторов. Поэтому в приложениях формулу часто читают не как техническое правило, а как разложение общего изменения на понятные причинные вклады.

Как пользоваться формулой

Выберите первый множитель f и второй множитель g.
Найдите f' и запишите первый вклад f'g.
Найдите g' и запишите второй вклад fg'.
Сложите два вклада, не заменяя исходные множители их производными одновременно.
Упростите ответ, вынеся общий множитель, если он есть.

Историческая справка

Правило произведения известно как одно из классических правил дифференциального исчисления. В традиции Лейбница оно естественно связано с дифференциалами: дифференциал произведения раскладывается на сумму двух вкладов, а произведение двух бесконечно малых в первом приближении отбрасывается. Позднее это рассуждение получило строгий вид через пределы и приращения. В XVIII-XIX веках правило стало обязательной частью учебников анализа, потому что без него невозможно систематически дифференцировать функции, возникающие в механике, геометрии и математической физике. Современная запись сохраняет историческую интуицию двух вкладов, но опирается на предельное доказательство.

Историческая линия формулы

Правило произведения часто связывают с лейбницевой традицией дифференциалов, но современная строгая формулировка является частью общего развития анализа. Корректнее упоминать Лейбница как ключевую историческую фигуру записи, а Коши - как представителя предельной строгости.

Готфрид Вильгельм Лейбниц 1646-1716 Огюстен Луи Коши 1789-1857

Пример

Пусть y=x^2 sin x. Здесь f(x)=x^2, g(x)=sin x. По правилу произведения y'=2x sin x+x^2 cos x. Первый член показывает вклад изменения x^2 при неизменном sin x, второй - вклад изменения sin x при неизменном x^2. Для y=(x^2+1)e^x получаем y'=2x e^x+(x^2+1)e^x=e^x(x^2+2x+1). После применения правила часто полезно вынести общий множитель, чтобы увидеть структуру ответа. Если требуется значение при x=0, в первом примере y'(0)=0, потому что оба слагаемых содержат множитель x или x^2. Такая проверка помогает увидеть, не потерян ли один из двух вкладов правила произведения.

Частая ошибка

Типичная ошибка - записать производную произведения как произведение производных, например для x sin x получить 1·cos x. Это неверно, потому что при малом изменении x меняются оба множителя и возникают два вклада. Еще одна ошибка - забыть один из исходных множителей в каждом члене: в первом члене стоит f'g, а во втором fg'. При трех множителях часто теряют один из трех вкладов.

Практика

Задачи с решением

Произведение степени и синуса

Условие. Найдите производную y=x^2 sin x.

Решение. Берем f=x^2, g=sin x. Тогда f'=2x, g'=cos x. Получаем y'=2x sin x+x^2 cos x.

Ответ. 2x sin x+x^2 cos x

Произведение с экспонентой

Условие. Найдите производную y=(x+1)e^x.

Решение. f=x+1, g=e^x. Тогда f'=1, g'=e^x. y'=1·e^x+(x+1)e^x=e^x(x+2).

Ответ. e^x(x+2)

Дополнительные источники

OpenStax Calculus Volume 1, 3.3 Differentiation Rules
MIT OpenCourseWare 18.01 Single Variable Calculus, differentiation rules
Tom M. Apostol, Calculus, Vol. 1, chapters on differentiation

Связанные формулы

Математика

Правило суммы производных

$\frac{d}{dx}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=f'(x)+g'(x)$

Правило суммы говорит, что производную суммы можно находить по частям: отдельно продифференцировать каждое слагаемое и затем сложить результаты.

Математика

Правило постоянного множителя в производной

$\frac{d}{dx}\bigl(c f(x)\bigr)=c f'(x)$

Постоянный множитель можно вынести за знак производной: коэффициент перед функцией сохраняется и умножает производную этой функции.

Математика

Правило частного производных

$\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}$

Производная частного равна разности двух вкладов в числителе, деленной на квадрат знаменателя: меняется числитель и меняется знаменатель.

Математика

Правило сложной функции

$\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x)$

Правило сложной функции, или правило цепочки, говорит: производная внешней функции берется в внутреннем выражении и умножается на производную внутренней функции.

Математика

Производная e^x

$\frac{d}{dx}e^x=e^x$

Экспонента с основанием e является собственной производной: ее темп роста совпадает с ее значением. Это свойство делает экспоненту естественной моделью процессов, где скорость пропорциональна текущему значению.