Все формулы РФ

Математика / Алгебра

Умножение многочлена на многочлен

Чтобы умножить многочлен на многочлен, каждый член первого многочлена умножают на каждый член второго, затем приводят подобные слагаемые.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаОГЭФормулы по математике за 7 классАлгебраМногочлены, разложение на множителиЕсть историческая справка

Формула

$$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$$

Обозначения

a, b
члены первого многочлена
c, d
члены второго многочлена

Условия применения

  • Каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго.
  • После попарного умножения выполняется приведение подобных слагаемых.
  • Знаки членов учитываются вместе с самими членами.

Ограничения

  • Нельзя умножать только первые и последние члены, если это не специальная формула, уже проверенная условиями.
  • При большем числе членов количество произведений увеличивается: нужно не пропустить ни одной пары.
  • Формулы сокращенного умножения применимы только к подходящим структурам; общий алгоритм остается надежной проверкой.

Подробное объяснение

Умножение многочленов - это повторное применение распределительного закона. Сначала можно представить первый многочлен как сумму a + b и умножить всю сумму на второй многочлен. Затем каждый из членов a и b отдельно умножается на c + d. После второго применения распределительного закона появляются все четыре произведения.

Такой алгоритм объясняет происхождение формул сокращенного умножения. Например, (a + b)^2 - это частный случай (a + b)(a + b), где после раскрытия появляются a^2, ab, ba и b^2. Средние члены складываются, поэтому получается 2ab.

В более сложных выражениях общий алгоритм помогает не зависеть от памяти: даже если формула не узнается сразу, ее можно получить аккуратным раскрытием скобок.

Для надежного решения удобно двигаться по таблице произведений: каждый член первой скобки должен встретиться с каждым членом второй. После этого выражение еще не обязательно готово: его нужно упростить, привести подобные слагаемые и проверить порядок степеней.

Как пользоваться формулой

  1. Возьмите первый член первого многочлена и умножьте на все члены второго.
  2. Повторите действие для каждого следующего члена первого многочлена.
  3. Запишите все полученные произведения с правильными знаками.
  4. Приведите подобные слагаемые.
  5. Проверьте результат обратным разложением или подстановкой числа.

Историческая справка

Правило умножения многочленов сформировалось как символическая запись распределительного закона. Геометрические рассуждения о площадях прямоугольников и разбиении их на части использовались еще в древней математике, но современный алгебраический вид стал удобен после развития буквенной символики и стандартной записи степеней. В учебной традиции эта тема важна еще и потому, что через нее выводятся формулы сокращенного умножения. Ученик видит, что знакомые тождества не берутся из ниоткуда: они являются частными случаями общего правила попарного умножения членов. Поэтому исторически и методически правило служит мостом между арифметической моделью площади и абстрактной алгеброй.

Историческая линия формулы

Единственного автора нет. Правило является следствием распределительного закона и исторически связано как с геометрическими моделями площадей, так и с развитием символической алгебры. Поэтому страницу корректнее связывать с общей алгебраической традицией, а не с одним именем.

Пример

Раскроем скобки: (2x - 3)(x + 5). Умножаем 2x на оба члена второй скобки: 2x * x = 2x^2, 2x * 5 = 10x. Теперь умножаем -3 на оба члена второй скобки: -3 * x = -3x, -3 * 5 = -15. Складываем результаты: 2x^2 + 10x - 3x - 15. Приводим подобные: 10x - 3x = 7x. Ответ: 2x^2 + 7x - 15. Проверка подстановкой при x = 2: исходная запись дает (4 - 3)(7) = 7, а результат дает 2 * 4 + 14 - 15 = 7. Если при проверке значения различаются, значит при раскрытии скобок пропущено произведение или неверно обработан знак.

Частая ошибка

Часто пропускают средние произведения и пишут (a + b)(c + d) = ac + bd. Это неверно: произведения ad и bc тоже обязательны. Еще одна ошибка - не учитывать знак члена, например в (x - 4)(x + 2) член -4 нужно умножать как отрицательное число. После раскрытия скобок нельзя забывать про приведение подобных слагаемых.

Практика

Задачи с решением

Раскрыть две скобки

Условие. Упростите (x + 4)(x - 7).

Решение. x * x = x^2, x * (-7) = -7x, 4 * x = 4x, 4 * (-7) = -28. После приведения подобных: -7x + 4x = -3x.

Ответ. x^2 - 3x - 28

Умножить многочлены с коэффициентами

Условие. Раскройте скобки: (3a - 2)(2a + 5).

Решение. 3a * 2a = 6a^2, 3a * 5 = 15a, -2 * 2a = -4a, -2 * 5 = -10. Подобные: 15a - 4a = 11a.

Ответ. 6a^2 + 11a - 10

Дополнительные источники

  • Алгебра 7 класса: разделы об одночленах, многочленах и линейных уравнениях
  • Кодификатор проверяемых требований ОГЭ по математике: алгебраические выражения, уравнения и системы

Связанные формулы

Математика

Умножение многочлена на одночлен

$a(b + c) = ab + ac$

Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно умножить на этот одночлен каждый член многочлена и затем привести подобные слагаемые, если они появились.

Математика

Квадрат суммы

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Квадрат суммы раскрывает квадрат двучлена через квадраты слагаемых и удвоенное произведение.

Математика

Разность квадратов

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

Разность квадратов раскладывает выражение a² - b² на произведение суммы и разности.