Математика / Алгебра
Умножение многочлена на многочлен
Чтобы умножить многочлен на многочлен, каждый член первого многочлена умножают на каждый член второго, затем приводят подобные слагаемые.
Формула
Обозначения
- a, b
- члены первого многочлена
- c, d
- члены второго многочлена
Условия применения
- Каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго.
- После попарного умножения выполняется приведение подобных слагаемых.
- Знаки членов учитываются вместе с самими членами.
Ограничения
- Нельзя умножать только первые и последние члены, если это не специальная формула, уже проверенная условиями.
- При большем числе членов количество произведений увеличивается: нужно не пропустить ни одной пары.
- Формулы сокращенного умножения применимы только к подходящим структурам; общий алгоритм остается надежной проверкой.
Подробное объяснение
Умножение многочленов - это повторное применение распределительного закона. Сначала можно представить первый многочлен как сумму a + b и умножить всю сумму на второй многочлен. Затем каждый из членов a и b отдельно умножается на c + d. После второго применения распределительного закона появляются все четыре произведения. Такой алгоритм объясняет происхождение формул сокращенного умножения. Например, (a + b)^2 - это частный случай (a + b)(a + b), где после раскрытия появляются a^2, ab, ba и b^2. Средние члены складываются, поэтому получается 2ab. В более сложных выражениях общий алгоритм помогает не зависеть от памяти: даже если формула не узнается сразу, ее можно получить аккуратным раскрытием скобок. Для надежного решения удобно двигаться по таблице произведений: каждый член первой скобки должен встретиться с каждым членом второй. После этого выражение еще не обязательно готово: его нужно упростить, привести подобные слагаемые и проверить порядок степеней.
Как пользоваться формулой
- Возьмите первый член первого многочлена и умножьте на все члены второго.
- Повторите действие для каждого следующего члена первого многочлена.
- Запишите все полученные произведения с правильными знаками.
- Приведите подобные слагаемые.
- Проверьте результат обратным разложением или подстановкой числа.
Историческая справка
Правило умножения многочленов сформировалось как символическая запись распределительного закона. Геометрические рассуждения о площадях прямоугольников и разбиении их на части использовались еще в древней математике, но современный алгебраический вид стал удобен после развития буквенной символики и стандартной записи степеней. В учебной традиции эта тема важна еще и потому, что через нее выводятся формулы сокращенного умножения. Ученик видит, что знакомые тождества не берутся из ниоткуда: они являются частными случаями общего правила попарного умножения членов. Поэтому исторически и методически правило служит мостом между арифметической моделью площади и абстрактной алгеброй.
Историческая линия формулы
Единственного автора нет. Правило является следствием распределительного закона и исторически связано как с геометрическими моделями площадей, так и с развитием символической алгебры. Поэтому страницу корректнее связывать с общей алгебраической традицией, а не с одним именем.
Пример
Раскроем скобки: (2x - 3)(x + 5). Умножаем 2x на оба члена второй скобки: 2x * x = 2x^2, 2x * 5 = 10x. Теперь умножаем -3 на оба члена второй скобки: -3 * x = -3x, -3 * 5 = -15. Складываем результаты: 2x^2 + 10x - 3x - 15. Приводим подобные: 10x - 3x = 7x. Ответ: 2x^2 + 7x - 15. Проверка подстановкой при x = 2: исходная запись дает (4 - 3)(7) = 7, а результат дает 2 * 4 + 14 - 15 = 7. Если при проверке значения различаются, значит при раскрытии скобок пропущено произведение или неверно обработан знак.
Частая ошибка
Часто пропускают средние произведения и пишут (a + b)(c + d) = ac + bd. Это неверно: произведения ad и bc тоже обязательны. Еще одна ошибка - не учитывать знак члена, например в (x - 4)(x + 2) член -4 нужно умножать как отрицательное число. После раскрытия скобок нельзя забывать про приведение подобных слагаемых.
Практика
Задачи с решением
Раскрыть две скобки
Условие. Упростите (x + 4)(x - 7).
Решение. x * x = x^2, x * (-7) = -7x, 4 * x = 4x, 4 * (-7) = -28. После приведения подобных: -7x + 4x = -3x.
Ответ. x^2 - 3x - 28
Умножить многочлены с коэффициентами
Условие. Раскройте скобки: (3a - 2)(2a + 5).
Решение. 3a * 2a = 6a^2, 3a * 5 = 15a, -2 * 2a = -4a, -2 * 5 = -10. Подобные: 15a - 4a = 11a.
Ответ. 6a^2 + 11a - 10
Дополнительные источники
- Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И. Алгебра. 7 класс. Разделы «Выражения», «Уравнения», «Степень с натуральным показателем»
- Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра. 7 класс. Главы о линейных уравнениях, степенях и многочленах
- ФИПИ. ОГЭ по математике: кодификатор проверяемых требований, раздел «Алгебраические выражения и уравнения»
Связанные формулы
Математика
Умножение многочлена на одночлен
Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно умножить на этот одночлен каждый член многочлена и затем привести подобные слагаемые, если они появились.
Математика
Квадрат суммы
Квадрат суммы раскрывается как квадрат первого выражения плюс удвоенное произведение выражений плюс квадрат второго выражения.
Математика
Разность квадратов
Разность квадратов раскладывается на два множителя: разность оснований и сумму тех же оснований. При подстановке важно выбрать именно те величины, которые соответствуют обозначениям в формуле.
Математика
Равносильные преобразования уравнения
Равносильные преобразования меняют запись уравнения, но сохраняют все его решения. В 7 классе это основа переноса слагаемых, раскрытия скобок и деления на ненулевой коэффициент.
Математика
Приведение подобных слагаемых
Приведение подобных слагаемых позволяет заменить сумму однотипных членов одним членом с общим буквенным множителем. Это базовое действие для упрощения выражений, решения линейных уравнений и подготовки многочленов к дальнейшим преобразованиям.
Математика
Вынесение общего множителя за скобки
Вынесение общего множителя за скобки превращает сумму одночленов с общей частью в произведение. Это первый и самый важный способ разложения многочлена на множители в 7 классе.