Все формулы РФ

Математика / Алгебра

Корень линейного уравнения ax + b = 0

Корень линейного уравнения ax + b = 0 находят переносом свободного члена в правую часть и делением на ненулевой коэффициент при x.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаОГЭФормулы по математике за 7 классАлгебраКалькуляторЕсть историческая справка

Формула

$$x = -\frac{b}{a},\quad a \ne 0$$

Обозначения

$x$
неизвестная переменная
$a$
коэффициент при переменной
$b$
свободный член

Условия применения

  • Уравнение приведено к виду ax + b = 0 или легко сводится к нему равносильными преобразованиями.
  • Коэффициент a не равен нулю, потому что на него выполняется деление.
  • Все слагаемые с переменной собраны в одном члене ax, а свободные числа входят в b.

Ограничения

  • Если a = 0, формула не применяется: уравнение превращается в числовое равенство b = 0.
  • Если переменная стоит во второй степени, под корнем или в знаменателе, это уже не обычное линейное уравнение.
  • При дробных коэффициентах сначала нужно аккуратно привести выражение к стандартному виду.

Подробное объяснение

Линейное уравнение ax + b = 0 описывает равенство, где неизвестная входит только в первой степени. Корень уравнения - такое число x, при котором левая часть обращается в ноль. Формула сразу показывает это число через два коэффициента: a управляет множителем при x, а b задает свободный сдвиг. Вывод опирается на равносильные преобразования. Из ax + b = 0 вычитают b из обеих частей и получают ax = -b. Затем обе части делят на a. Деление разрешено только при a не равном нулю, поэтому условие a != 0 входит в саму формулу. Знак минус в ответе связан с переносом свободного члена. Если b положительно, то -b отрицательно; если b отрицательно, то -b положительно. Чем больше модуль a, тем меньше по модулю корень при том же b, потому что одно и то же значение -b делится на больший коэффициент. В задачах формулу применяют после раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых и переноса всех членов в одну сторону. Она также служит проверкой для нуля линейной функции y = ax + b: точка пересечения графика с осью Ox имеет ту же абсциссу. После вычисления корень обязательно подставляют в исходное уравнение, а не только в уже упрощенную запись. Так легче заметить ошибку со знаком или неверное раскрытие скобок.

Как пользоваться формулой

  1. Проверьте, что уравнение приведено к виду ax + b = 0.
  2. Убедитесь, что a не равно 0.
  3. Подставьте a и b в формулу.
  4. Проверьте ответ подстановкой в исходное уравнение.

Историческая справка

Линейные уравнения появились из практических задач о дележах, торговле, измерениях и неизвестных величинах. Уже в древнеегипетских и вавилонских текстах встречались задачи, которые сегодня записали бы как уравнения первой степени. Тогда их решали словами и арифметическими действиями, без буквенной символики. В античной и средневековой математике такие задачи входили в арифметику и алгебру как поиск неизвестного числа. Современная запись ax + b = 0 стала привычной после развития буквенной алгебры в Европе XVI-XVII веков. В школьном курсе формула x = -b/a служит краткой записью тех же равносильных действий, которые раньше описывались пошагово. В XX веке такая запись стала стандартной в школьных учебниках: она позволяет быстро переходить от доказанного свойства к вычислению и сохраняет связь с исходным рассуждением.

Историческая линия формулы

Единственного автора у формулы нет. Она следует из правил равносильных преобразований уравнений и из развития буквенной алгебры; корректнее связывать ее с общей алгебраической традицией решения линейных задач. Поэтому в учебной атрибуции указывают математическую традицию и вывод из определения, а не одного автора.

Пример

Задача: решить уравнение 5x - 20 = 0. Дано: a = 5, b = -20, требуется найти x. Подстановка в формулу: x = -b/a = -(-20)/5 = 20/5 = 4. Ответ: x = 4. Проверка выполняется в исходном уравнении: 5*4 - 20 = 20 - 20 = 0, значит найденное число действительно обращает левую часть в ноль. Единиц измерения здесь нет, потому что это алгебраическое уравнение с безразмерной переменной. Если бы при переносе забыли сменить знак свободного члена, получилось бы -4, но проверка дала бы 5*(-4)-20=-40, а не 0. Дополнительная проверка: если выполнить обратную подстановку в исходную запись, обе части дают одно и то же значение, а единицы ответа соответствуют величине из условия.

Частая ошибка

Часто забывают условие a != 0 и делят на ноль. Еще одна ошибка - потерять знак при переносе b: из ax + b = 0 получается ax = -b, а не ax = b. В уравнениях со скобками опасно подставлять коэффициенты до раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых. Надежная проверка - вернуть найденный x в исходную запись.

Практика

Задачи с решением

Решить уравнение с отрицательным b

Условие. Решите уравнение 7x - 21 = 0.

Решение. Здесь a=7, b=-21. По формуле x=-b/a=-(-21)/7=21/7=3. Проверка: 7*3-21=0.

Ответ. x = 3

Решить уравнение с положительным b

Условие. Найдите корень уравнения -4x + 12 = 0.

Решение. a=-4, b=12. Тогда x=-12/(-4)=3. Проверка: -4*3+12=0.

Ответ. x = 3

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

  • Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И. Алгебра. 7 класс. Разделы «Выражения», «Уравнения», «Степень с натуральным показателем»
  • Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра. 7 класс. Главы о линейных уравнениях, степенях и многочленах
  • ФИПИ. ОГЭ по математике: кодификатор проверяемых требований, раздел «Алгебраические выражения и уравнения»

Связанные формулы

Математика

Линейная функция

$y = kx + b$

Линейная функция задает зависимость y = kx + b, где график представляет собой прямую, k отвечает за наклон, а b - за пересечение с осью Oy.

Математика

Основное свойство пропорции

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\quad \Longleftrightarrow \quad ad = bc$

Основное свойство пропорции утверждает: в равенстве двух дробей произведение крайних членов равно произведению средних членов.

Математика

Линейное уравнение вида ax + b = c

$ax + b = c,\quad x = \frac{c - b}{a},\quad a \ne 0$

Линейное уравнение вида ax + b = c решается переносом свободного члена и делением на коэффициент при неизвестной. Это основной шаблон для большинства уравнений 7 класса.

Математика

Равносильные преобразования уравнения

$A = B \Longleftrightarrow A + m = B + m$

Равносильные преобразования меняют запись уравнения, но сохраняют все его решения. В 7 классе это основа переноса слагаемых, раскрытия скобок и деления на ненулевой коэффициент.

Математика

Приведение подобных слагаемых

$ka + ma = (k + m)a$

Приведение подобных слагаемых позволяет заменить сумму однотипных членов одним членом с общим буквенным множителем. Это базовое действие для упрощения выражений, решения линейных уравнений и подготовки многочленов к дальнейшим преобразованиям.

Математика

Умножение многочлена на многочлен

$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$

Чтобы умножить многочлен на многочлен, каждый член первого многочлена умножают на каждый член второго, затем приводят подобные слагаемые.