Все формулы РФ

Математика / Функции и графики

Линейная функция

Линейная функция задает зависимость y = kx + b, где график представляет собой прямую, k отвечает за наклон, а b - за пересечение с осью Oy.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаОГЭФормулы по математике за 7 классФункции и графикиКалькуляторЕсть историческая справка

Формула

$$y = kx + b$$

Обозначения

$x$
аргумент функции
$y$
значение функции
$k$
угловой коэффициент
$b$
значение y при x = 0

Условия применения

  • Зависимость имеет постоянный прирост: при изменении x на 1 значение y меняется на одно и то же число k.
  • Коэффициенты k и b заданы числами или выражениями, определенными в задаче.
  • Аргумент x может принимать значения из рассматриваемой области, обычно все действительные числа в школьных задачах.

Ограничения

  • Если скорость изменения величины не постоянна, модель y = kx + b не описывает зависимость точно.
  • При k = 0 функция становится постоянной y = b; график остается прямой, но без наклона.
  • Нельзя путать коэффициент k со значением функции: k показывает изменение y при единичном изменении x.

Подробное объяснение

Линейная функция описывает зависимость, в которой значение y меняется равномерно при изменении x. Число k показывает, на сколько изменится y при увеличении x на 1, а число b задает значение y при x = 0. График такой функции - прямая. Это связано с постоянным приращением: для любых двух шагов по x изменение y пропорционально длине шага. Прямая на координатной плоскости как раз отражает одинаковый наклон на всем протяжении. Если k положительно, график идет вверх слева направо; если k отрицательно, идет вниз. Чем больше модуль k, тем круче наклон. Коэффициент b сдвигает прямую вверх или вниз, не меняя ее наклона. В задачах формула y = kx + b позволяет вычислять значение функции по аргументу, строить таблицу точек, находить пересечения с осями и сравнивать две прямые. Для построения обычно достаточно двух точек, потому что через две разные точки проходит единственная прямая. Перед применением нужно отделять аргумент от значения функции. Число x выбирают или находят по условию, а y вычисляют подстановкой.

Как пользоваться формулой

  1. Определите коэффициенты k и b.
  2. Для вычисления значения подставьте x в формулу.
  3. Для построения графика найдите две точки.
  4. Проведите через найденные точки прямую.

Историческая справка

Линейные зависимости возникали в задачах о равномерном движении, цене товара, масштабе и измерениях задолго до появления термина «функция». Координатный метод XVII века позволил изображать такие зависимости прямыми на плоскости. В работах Декарта и Ферма алгебраические уравнения начали связывать с геометрическими линиями. Позднее понятие функции стало одним из центральных в математике, а линейная функция заняла место первого простого примера зависимости между переменными. В школьном курсе 7 класса она соединяет алгебру уравнений с графическим способом рассуждения. В XX веке такая запись стала стандартной в школьных учебниках: она позволяет быстро переходить от доказанного свойства к вычислению и сохраняет связь с исходным рассуждением.

Пример

Задача: для функции y = 2x - 3 найти значение при x = 4 и точку пересечения с осью Oy. Дано: k = 2, b = -3. Подстановка для x = 4: y = 2*4 - 3 = 8 - 3 = 5, значит точка графика имеет координаты (4; 5). При пересечении с осью Oy аргумент x равен 0, поэтому y = 2*0 - 3 = -3. Ответ: y(4)=5, точка пересечения с Oy равна (0; -3). Проверка смысла: при увеличении x на 1 значение y увеличивается на 2, что совпадает с коэффициентом k. Дополнительная проверка: если выполнить обратную подстановку в исходную запись, обе части дают одно и то же значение, а единицы ответа соответствуют величине из условия.

Частая ошибка

Часто путают k и b: свободный член b не отвечает за наклон, он дает высоту пересечения с осью Oy. Еще одна ошибка - считать, что при x = 0 функция обязательно равна 0; на самом деле y = b. При построении графика нельзя брать две одинаковые точки. Если k отрицательно, прямая убывает, и это нужно учитывать в таблице значений.

Практика

Задачи с решением

Найти значение функции

Условие. Для y = -3x + 7 найдите y при x = 2.

Решение. Подставляем x=2: y=-3*2+7=1.

Ответ. 1

Найти значение при нуле

Условие. Для y = 5x - 4 найдите точку пересечения с осью Oy.

Решение. На оси Oy x=0. Тогда y=5*0-4=-4.

Ответ. (0; -4)

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

  • Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И. Алгебра. 7 класс. Раздел «Линейная функция»
  • Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра. 7 класс. Линейные функции и графики
  • ФИПИ. ОГЭ по математике: кодификатор проверяемых требований, координатная плоскость и функции

Связанные формулы

Математика

Угловой коэффициент прямой

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1},\quad x_1 \ne x_2$

Угловой коэффициент прямой равен отношению изменения y к изменению x между двумя разными точками этой прямой. Запись сразу показывает смысл результата и ограничения для подстановки.

Математика

Корень линейного уравнения ax + b = 0

$x = -\frac{b}{a},\quad a \ne 0$

Корень линейного уравнения ax + b = 0 находят переносом свободного члена в правую часть и делением на ненулевой коэффициент при x.

Математика

Линейное уравнение с двумя переменными

$ax + by = c$

Линейное уравнение с двумя переменными связывает две неизвестные величины первой степени. Его решениями являются пары чисел, а графиком на координатной плоскости обычно служит прямая.

Математика

Прямая пропорциональность

$y = kx$

Прямая пропорциональность описывает зависимость, при которой одна величина равна другой величине, умноженной на постоянный коэффициент. Ее график проходит через начало координат.

Математика

График линейной функции по двум точкам

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1},\quad y - y_1 = k(x - x_1)$

Если известны две разные точки линейной функции, можно найти угловой коэффициент и построить прямую. Через две различные точки проходит единственная прямая.