Все формулы РФ

Математика / Функции и графики

График линейной функции по двум точкам

Если известны две разные точки линейной функции, можно найти угловой коэффициент и построить прямую. Через две различные точки проходит единственная прямая.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаОГЭФормулы по математике за 7 классФункции и графикиЛинейные уравнения и преобразованияЕсть историческая справка

Формула

$$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1},\quad y - y_1 = k(x - x_1)$$

Обозначения

$x_1, y_1$
координаты первой точки
$x_2, y_2$
координаты второй точки
$k$
угловой коэффициент прямой

Условия применения

  • Точки должны быть различными.
  • Для вычисления k нужно, чтобы x_1 не равнялся x_2.
  • Обе точки должны принадлежать одной линейной функции или одной прямой.

Ограничения

  • Если x_1 = x_2, получается вертикальная прямая, которая не задается функцией вида y = kx + b.
  • По двум точкам нельзя строить график нелинейной зависимости как прямую без дополнительного обоснования.
  • Ошибки в масштабе координатной сетки приводят к неверному визуальному наклону.

Подробное объяснение

Линейная функция имеет график в виде прямой, а прямая на плоскости однозначно задается двумя различными точками. Поэтому для построения графика обычно достаточно найти две пары значений, отметить их на координатной плоскости и провести прямую.

Формула для k показывает, насколько изменяется y при изменении x. Если y выросло на 6, а x выросло на 3, то на каждую единицу x приходится рост y на 2. Это и есть угловой коэффициент. После нахождения k можно восстановить формулу прямой через одну из точек.

В 7 классе важно понимать оба уровня: практический и формульный. Практически график строят по двум точкам. Формульно можно проверить, что эти точки дают одну и ту же прямую, найти ее наклон и записать функцию в виде y = kx + b.

Если точки взяты из таблицы значений, сначала стоит убедиться, что зависимость действительно линейная. Для этого сравнивают изменения y при одинаковых изменениях x. Если приращения не согласуются, одной прямой такая таблица может не описываться.

Как пользоваться формулой

  1. Выберите две разные точки графика.
  2. Проверьте, что их координаты x не совпадают, если нужна функция вида y = kx + b.
  3. Найдите k по разности координат.
  4. Подставьте k и одну точку в формулу y - y_1 = k(x - x_1).
  5. Отметьте точки на плоскости и проведите прямую.

Историческая справка

Построение прямых по точкам связано с развитием координатного метода и аналитической геометрии. Когда геометрические объекты стали описывать уравнениями, прямая получила алгебраическую запись, а пары чисел стали точками на плоскости. Для школьного курса это важное соединение таблицы значений, формулы и рисунка. Ученик видит, что график не является декоративной картинкой: он представляет все решения линейной зависимости и позволяет читать свойства функции визуально. В дальнейшем та же идея используется для уравнений, систем, физических графиков движения и экономических зависимостей, поэтому навык построения по точкам имеет широкое прикладное значение.

Историческая линия формулы

У школьного правила построения прямой по двум точкам нет одного автора. Оно опирается на классическое свойство прямой и на развитие координатного метода. Исторически корректнее связывать тему с аналитической геометрией и школьной теорией функций.

Пример

Построим график линейной функции, проходящей через точки A(1, 3) и B(4, 9). Сначала найдем угловой коэффициент: k = (9 - 3) / (4 - 1) = 6 / 3 = 2. Используем точку A: y - 3 = 2(x - 1). Раскрываем скобки: y - 3 = 2x - 2, значит y = 2x + 1. Для построения можно отметить точки (1, 3) и (4, 9) и провести через них прямую. Проверка формулы: при x = 1 получаем y = 3, при x = 4 получаем y = 9, обе точки действительно лежат на графике. Дополнительно можно взять x = 0 и получить y = 1: это точка пересечения прямой с осью y, которая помогает аккуратно проверить рисунок.

Частая ошибка

Частая ошибка - перепутать порядок координат в дроби для k: если в числителе записано y_2 - y_1, то в знаменателе должно быть x_2 - x_1 в том же порядке. Еще одна ошибка - брать две точки с одинаковой координатой x и пытаться получить обычную линейную функцию; такая прямая вертикальна и не является графиком функции y = kx + b. При построении нужно следить за масштабом осей и точно отмечать координаты.

Практика

Задачи с решением

Найти формулу по двум точкам

Условие. Прямая проходит через точки (0, 2) и (3, 8). Найдите ее формулу.

Решение. k = (8 - 2) / (3 - 0) = 2. Так как при x = 0 значение y = 2, свободный член равен 2. Формула: y = 2x + 2.

Ответ. y = 2x + 2

Проверить точку на графике

Условие. Лежит ли точка (5, 11) на прямой, проходящей через (1, 3) и (4, 9)?

Решение. Для этих точек k = 2, формула y = 2x + 1. При x = 5 получаем y = 11. Значит, точка лежит на прямой.

Ответ. Да, точка (5, 11) лежит на графике

Дополнительные источники

  • Алгебра 7 класса: линейная функция, прямая пропорциональность и графики
  • Кодификатор проверяемых требований ОГЭ по математике: функции и графики

Связанные формулы

Математика

Линейная функция

$y = kx + b$

Линейная функция задается формулой y = kx + b и имеет график в виде прямой.

Математика

Угловой коэффициент прямой

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1},\quad x_1 \ne x_2$

Угловой коэффициент прямой показывает, как меняется y при изменении x.

Математика

Прямая пропорциональность

$y = kx$

Прямая пропорциональность описывает зависимость, при которой одна величина равна другой величине, умноженной на постоянный коэффициент. Ее график проходит через начало координат.