Все формулы РФ

Математика / Алгебра

Линейное уравнение вида ax + b = c

Линейное уравнение вида ax + b = c решается переносом свободного члена и делением на коэффициент при неизвестной. Это основной шаблон для большинства уравнений 7 класса.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаОГЭФормулы по математике за 7 классАлгебраЛинейные уравнения и преобразованияКалькуляторЕсть историческая справка

Формула

$$ax + b = c,\quad x = \frac{c - b}{a},\quad a \ne 0$$

Обозначения

$x$
неизвестная величина
$a$
коэффициент при неизвестной, не равный нулю
b, c
известные числа или выражения

Условия применения

  • После упрощения уравнение содержит неизвестную только в первой степени.
  • Коэффициент a при неизвестной не равен нулю.
  • Преобразования выполняются равносильно: одно и то же действие применяется к обеим частям уравнения.

Ограничения

  • Если a = 0, формула деления на a неприменима: нужно отдельно проверить, получается верное или неверное числовое равенство.
  • Перед применением формулы нужно раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.
  • Нельзя переносить слагаемое через знак равенства без изменения знака.

Подробное объяснение

Линейное уравнение показывает равенство двух выражений, где неизвестная входит в первой степени. Чтобы найти x, нужно постепенно изолировать его. Сначала убирают свободный член b из левой части: из ax + b = c получают ax = c - b. Затем убирают коэффициент a, деля обе части на a, и получают x = (c - b) / a.

Каждый шаг должен сохранять множество решений. Поэтому перенос слагаемого можно понимать не как магическое перебрасывание через знак равенства, а как прибавление противоположного числа к обеим частям. Деление на коэффициент тоже выполняется с обеими частями. Так уравнение остается равносильным исходному.

Формула полезна не только для коротких уравнений. В более сложных примерах после раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых и переноса всех членов с x в одну часть уравнение часто снова сводится к этому виду. Поэтому шаблон ax + b = c является базовым ориентиром для всего блока линейных уравнений.

Как пользоваться формулой

  1. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые.
  2. Перенесите свободные члены в одну часть, а член с x оставьте в другой.
  3. Получите уравнение вида ax = c - b.
  4. Разделите обе части на ненулевой коэффициент a.
  5. Подставьте найденный корень в исходное уравнение.

Историческая справка

Линейные уравнения относятся к самым древним типам алгебраических задач: люди решали задачи о неизвестных количествах задолго до современной буквенной записи. В старых текстах такие задачи часто формулировались словами, а неизвестное называли вещью, числом или долей. Современный вид ax + b = c появился как результат развития символической алгебры, когда стало удобно обозначать неизвестную буквой и выполнять с равенствами общие преобразования. Для школьного курса важна именно эта современная форма: она делает решение прозрачным, проверяемым и переносимым на текстовые задачи. Такая запись также отделяет общий метод от конкретных чисел: ученик видит не один пример, а универсальную схему, которая работает для целого класса задач.

Историческая линия формулы

У формулы решения линейного уравнения нет одного автора. Она следует из свойств равенства и арифметических действий. Исторически корректнее связывать ее с развитием элементарной алгебры и символической записи неизвестных, а не с персональным открытием.

Пример

Решим уравнение 5x - 7 = 18. Сначала переносим -7 в правую часть, то есть прибавляем 7 к обеим частям: 5x = 18 + 7. Получаем 5x = 25. Теперь делим обе части на коэффициент 5: x = 5. Проверка обязательна: подставляем x = 5 в исходное уравнение и получаем 5 * 5 - 7 = 25 - 7 = 18. Левая часть совпала с правой, значит корень найден верно. В общем виде это соответствует формуле x = (c - b) / a: здесь a = 5, b = -7, c = 18, поэтому x = (18 - (-7)) / 5 = 5. Если вместо прибавления 7 ошибочно вычесть 7, получится 5x = 11 и неверный корень 2,2; проверка сразу покажет расхождение.

Частая ошибка

Самая частая ошибка - неправильно изменить знак при переносе: из 5x - 7 = 18 получают 5x = 18 - 7, хотя нужно прибавить 7. Вторая ошибка - делить только одну часть уравнения или забывать, что деление выполняется на весь коэффициент при x. Еще важно не применять формулу механически, пока уравнение не приведено к виду ax + b = c: скобки и подобные слагаемые сначала должны быть обработаны.

Практика

Задачи с решением

Решить линейное уравнение

Условие. Решите уравнение 4x + 9 = 29.

Решение. Вычитаем 9 из обеих частей: 4x = 20. Делим обе части на 4: x = 5. Проверка: 4 * 5 + 9 = 29.

Ответ. x = 5

Уравнение с отрицательным свободным членом

Условие. Решите уравнение 7x - 12 = 2.

Решение. Прибавляем 12 к обеим частям: 7x = 14. Делим на 7: x = 2. Проверка: 7 * 2 - 12 = 2.

Ответ. x = 2

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

  • Алгебра 7 класса: линейные уравнения и равносильные преобразования
  • Кодификатор проверяемых требований ОГЭ по математике: уравнения и алгебраические выражения

Связанные формулы

Математика

Корень линейного уравнения ax + b = 0

$x = -\frac{b}{a},\quad a \ne 0$

Корень линейного уравнения ax + b = 0 находится переносом свободного члена и делением на коэффициент при x.

Математика

Равносильные преобразования уравнения

$A = B \Longleftrightarrow A + m = B + m$

Равносильные преобразования меняют запись уравнения, но сохраняют все его решения. В 7 классе это основа переноса слагаемых, раскрытия скобок и деления на ненулевой коэффициент.

Математика

Линейное уравнение с двумя переменными

$ax + by = c$

Линейное уравнение с двумя переменными связывает две неизвестные величины первой степени. Его решениями являются пары чисел, а графиком на координатной плоскости обычно служит прямая.