Математика / Алгебра
Линейное уравнение вида ax + b = c
Линейное уравнение вида ax + b = c решается переносом свободного члена и делением на коэффициент при неизвестной. Это основной шаблон для большинства уравнений 7 класса.
Формула
Обозначения
- $x$
- неизвестная величина
- $a$
- коэффициент при неизвестной, не равный нулю
- b, c
- известные числа или выражения
Условия применения
- После упрощения уравнение содержит неизвестную только в первой степени.
- Коэффициент a при неизвестной не равен нулю.
- Преобразования выполняются равносильно: одно и то же действие применяется к обеим частям уравнения.
Ограничения
- Если a = 0, формула деления на a неприменима: нужно отдельно проверить, получается верное или неверное числовое равенство.
- Перед применением формулы нужно раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.
- Нельзя переносить слагаемое через знак равенства без изменения знака.
Подробное объяснение
Линейное уравнение показывает равенство двух выражений, где неизвестная входит в первой степени. Чтобы найти x, нужно постепенно изолировать его. Сначала убирают свободный член b из левой части: из ax + b = c получают ax = c - b. Затем убирают коэффициент a, деля обе части на a, и получают x = (c - b) / a. Каждый шаг должен сохранять множество решений. Поэтому перенос слагаемого можно понимать не как магическое перебрасывание через знак равенства, а как прибавление противоположного числа к обеим частям. Деление на коэффициент тоже выполняется с обеими частями. Так уравнение остается равносильным исходному. Формула полезна не только для коротких уравнений. В более сложных примерах после раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых и переноса всех членов с x в одну часть уравнение часто снова сводится к этому виду. Поэтому шаблон ax + b = c является базовым ориентиром для всего блока линейных уравнений.
Как пользоваться формулой
- Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые.
- Перенесите свободные члены в одну часть, а член с x оставьте в другой.
- Получите уравнение вида ax = c - b.
- Разделите обе части на ненулевой коэффициент a.
- Подставьте найденный корень в исходное уравнение.
Историческая справка
Линейные уравнения относятся к самым древним типам алгебраических задач: люди решали задачи о неизвестных количествах задолго до современной буквенной записи. В старых текстах такие задачи часто формулировались словами, а неизвестное называли вещью, числом или долей. Современный вид ax + b = c появился как результат развития символической алгебры, когда стало удобно обозначать неизвестную буквой и выполнять с равенствами общие преобразования. Для школьного курса важна именно эта современная форма: она делает решение прозрачным, проверяемым и переносимым на текстовые задачи. Такая запись также отделяет общий метод от конкретных чисел: ученик видит не один пример, а универсальную схему, которая работает для целого класса задач.
Пример
Решим уравнение 5x - 7 = 18. Сначала переносим -7 в правую часть, то есть прибавляем 7 к обеим частям: 5x = 18 + 7. Получаем 5x = 25. Теперь делим обе части на коэффициент 5: x = 5. Проверка обязательна: подставляем x = 5 в исходное уравнение и получаем 5 * 5 - 7 = 25 - 7 = 18. Левая часть совпала с правой, значит корень найден верно. В общем виде это соответствует формуле x = (c - b) / a: здесь a = 5, b = -7, c = 18, поэтому x = (18 - (-7)) / 5 = 5. Если вместо прибавления 7 ошибочно вычесть 7, получится 5x = 11 и неверный корень 2,2; проверка сразу покажет расхождение.
Частая ошибка
Самая частая ошибка - неправильно изменить знак при переносе: из 5x - 7 = 18 получают 5x = 18 - 7, хотя нужно прибавить 7. Вторая ошибка - делить только одну часть уравнения или забывать, что деление выполняется на весь коэффициент при x. Еще важно не применять формулу механически, пока уравнение не приведено к виду ax + b = c: скобки и подобные слагаемые сначала должны быть обработаны.
Практика
Задачи с решением
Решить линейное уравнение
Условие. Решите уравнение 4x + 9 = 29.
Решение. Вычитаем 9 из обеих частей: 4x = 20. Делим обе части на 4: x = 5. Проверка: 4 * 5 + 9 = 29.
Ответ. x = 5
Уравнение с отрицательным свободным членом
Условие. Решите уравнение 7x - 12 = 2.
Решение. Прибавляем 12 к обеим частям: 7x = 14. Делим на 7: x = 2. Проверка: 7 * 2 - 12 = 2.
Ответ. x = 2
Калькулятор
Посчитать по формуле
Дополнительные источники
- Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И. Алгебра. 7 класс. Разделы «Выражения», «Уравнения», «Степень с натуральным показателем»
- Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра. 7 класс. Главы о линейных уравнениях, степенях и многочленах
- ФИПИ. ОГЭ по математике: кодификатор проверяемых требований, раздел «Алгебраические выражения и уравнения»
Связанные формулы
Математика
Корень линейного уравнения ax + b = 0
Корень линейного уравнения ax + b = 0 находят переносом свободного члена в правую часть и делением на ненулевой коэффициент при x.
Математика
Равносильные преобразования уравнения
Равносильные преобразования меняют запись уравнения, но сохраняют все его решения. В 7 классе это основа переноса слагаемых, раскрытия скобок и деления на ненулевой коэффициент.
Математика
Линейное уравнение с двумя переменными
Линейное уравнение с двумя переменными связывает две неизвестные величины первой степени. Его решениями являются пары чисел, а графиком на координатной плоскости обычно служит прямая.
Математика
Приведение подобных слагаемых
Приведение подобных слагаемых позволяет заменить сумму однотипных членов одним членом с общим буквенным множителем. Это базовое действие для упрощения выражений, решения линейных уравнений и подготовки многочленов к дальнейшим преобразованиям.
Математика
Умножение многочлена на многочлен
Чтобы умножить многочлен на многочлен, каждый член первого многочлена умножают на каждый член второго, затем приводят подобные слагаемые.
Математика
Вынесение общего множителя за скобки
Вынесение общего множителя за скобки превращает сумму одночленов с общей частью в произведение. Это первый и самый важный способ разложения многочлена на множители в 7 классе.