Конические сечения
Классификация коник
Формулы для определения типа кривой второго порядка, вырожденных случаев и перехода к каноническому виду.
10 формул
Таблица формул
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Общее уравнение кривой второго порядка | $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ | Прямые, плоскости | Общее уравнение кривой второго порядка: формула Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 помогает требуется требуется требуется требуется требуется требуется записать уравнение геометрического объекта по заданным параметрам. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Классификация коники по дискриминанту | $\delta=B^2-4AC:\quad \delta<0\ \text{эллиптический тип},\ \delta=0\ \text{параболический тип},\ \delta>0\ \text{гиперболический тип}$ | Прямые, плоскости | Классификация коники по дискриминанту: формула \delta=B^2-4AC:\quad \delta<0\ \text{эллиптический тип},\ \delta=0\ \text{параболический тип},\ \delta>0\ \text{гиперболический тип} помогает требуется требуется требуется требуется требуется требуется кривая не вырождена. В тексте есть условия, пример, ошибки и прове... |
| Центр коники из линейной системы | $\begin{cases}2Ah + Bk + D = 0\\Bh + 2Ck + E = 0\end{cases}$ | Прямые, плоскости | Центр коники из линейной системы: формула \begin{cases}2Ah + Bk + D = 0\\Bh + 2Ck + E = 0\end{cases} помогает требуется требуется требуется требуется требуется требуется перейти от геометрического условия к координатной записи. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Угол поворота осей для устранения члена xy | $\tan 2\theta = \frac{B}{A-C}$ | Прямые, плоскости | Угол поворота осей для устранения члена xy: формула \tan 2\theta = \frac{B}{A-C} помогает найти угол через векторы, нормали или направляющие. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Перенос начала координат в центр коники | $x=X+h,\ y=Y+k;\quad AX^2+BXY+CY^2+J=0$ | Прямые, плоскости | Перенос начала координат в центр коники: формула x=X+h,\ y=Y+k;\quad AX^2+BXY+CY^2+J=0 помогает перейти от геометрического условия к координатной записи. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Полуоси эллипса после диагонализации | $\lambda_1U^2+\lambda_2V^2+J=0,\quad \lambda_1,\lambda_2>0,\ J<0,\quad a_i^2=\frac{-J}{\lambda_i}$ | Прямые, плоскости | Полуоси эллипса после диагонализации: формула \lambda_1U^2+\lambda_2V^2+J=0,\quad \lambda_1,\lambda_2>0,\ J<0,\quad a_i^2=\frac{-J}{\lambda_i} помогает перейти от геометрического условия к координатной записи. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Полуоси гиперболы после диагонализации | $\lambda_+U^2+\lambda_-V^2+J=0,\quad \lambda_+>0,\lambda_-<0,\quad a^2=\frac{|J|}{|\lambda_+|},\ b^2=\frac{|J|}{|\lambda_-|}$ | Прямые, плоскости | Полуоси гиперболы после диагонализации: формула \lambda_+U^2+\lambda_-V^2+J=0,\quad \lambda_+>0,\lambda_-<0,\quad a^2=\frac{|J|}{|\lambda_+|},\ b^2=\frac{|J|}{|\lambda_-|} помогает перейти от геометрического условия к координатной записи. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Вершина и ось параболы через выделение квадрата | $(Y-k)^2=2p(X-h)\quad \text{или}\quad (X-h)^2=2p(Y-k)$ | Прямые, плоскости | Вершина и ось параболы через выделение квадрата: формула (Y-k)^2=2p(X-h)\quad \text{или}\quad (X-h)^2=2p(Y-k) помогает перейти от геометрического условия к координатной записи. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Критерий вырожденной коники через определитель | $\Delta = \left|\begin{matrix} A & \frac{B}{2} & \frac{D}{2} \\ \frac{B}{2} & C & \frac{E}{2} \\ \frac{D}{2} & \frac{E}{2} & F \end{matrix}\right| = 0$ | Прямые, плоскости | Критерий вырожденной коники через определитель: формула \Delta = \left|\begin{matrix} A & \frac{B}{2} & \frac{D}{2} \\ \frac{B}{2} & C & \frac{E}{2} \\ \frac{D}{2} & \frac{E}{2} & F \end{matrix}\right| = 0 помогает требуется требуется требуется требуется требуется требуется детерминант квадратичной формы с линейны... |
| Инвариант следа квадратичной части коники | $A'+C'=A+C=\operatorname{tr}\begin{pmatrix}A&B/2\\B/2&C\end{pmatrix}$ | Прямые, плоскости | Инвариант следа квадратичной части коники: формула A'+C'=A+C=\operatorname{tr}\begin{pmatrix}A&B/2\\B/2&C\end{pmatrix} помогает перейти от геометрического условия к координатной записи. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |