Математика / Алгебра

Степень произведения

Степень произведения равна произведению степеней всех множителей: каждый множитель внутри скобок возводится в тот же показатель.

Опубликовано: 3 июня 2026 г.Обновлено: 3 июня 2026 г.

Формула

$$(ab)^n = a^n b^n$$

Обозначения

a, b: множители произведения
$n$: показатель степени

Условия применения

В степень возводится все произведение, заключенное в скобки.
Показатель n в курсе 7 класса обычно натуральный.
Все множители внутри произведения получают один и тот же показатель.

Ограничения

Формула не относится к сумме: (a+b)^n нельзя заменить на a^n+b^n.
Если множитель имеет собственную степень, дополнительно применяют правило степени степени.
При отрицательном коэффициенте нужно учитывать четность показателя.

Подробное объяснение

Степень произведения раскрывает смысл записи (ab)^n. Она означает, что произведение ab умножают само на себя n раз. В каждой копии есть множитель a и множитель b, поэтому после перестановки множителей можно собрать отдельно все a и все b. Так получается a^n b^n: множитель a встречается n раз, множитель b тоже n раз. Формула не меняет значение выражения, а только группирует одинаковые множители удобнее для вычисления. Если внутри скобок стоит несколько множителей, правило действует на каждый из них: (abc)^n = a^n b^n c^n. При числовом коэффициенте его тоже возводят в степень, поэтому (3x)^2 = 9x^2. В задачах 7 класса формула особенно нужна для степени одночлена. Например, (2x^3y)^2 превращается в 4x^6y^2: коэффициент возводится в квадрат, степень x умножается на 2, y получает показатель 2. От степени суммы правило отличается принципиально. Произведение можно разнести по множителям, а сумма требует других формул, например квадрата суммы.

Как пользоваться формулой

Определите все множители внутри скобок.
Возведите каждый множитель в степень n.
Если есть числовой коэффициент, тоже возведите его в степень.
Упростите результат.

Историческая справка

Формула степени произведения связана с пониманием степени как повторяющегося умножения. В ранней арифметике квадраты и кубы считали как площади и объемы, а общая запись с показателем появилась позднее вместе с буквенной алгеброй. Когда произведение начали записывать символически, стало естественно группировать одинаковые множители и формулировать свойства степеней в общем виде. В школьном курсе правило нужно для перехода от числовых степеней к алгебраическим одночленам. Оно показывает, что показатель относится ко всей скобке, а не только к ближайшей букве. В XX веке такая запись стала стандартной в школьных учебниках: она позволяет быстро переходить от доказанного свойства к вычислению и сохраняет связь с исходным рассуждением.

Историческая линия формулы

У формулы нет отдельного автора. Она выводится из определения натуральной степени и свойства умножения, а современная запись относится к общей традиции символической алгебры. Поэтому в учебной атрибуции указывают математическую традицию и вывод из определения, а не одного автора.

Пример

Задача: упростить (3a^2b)^2. Дано: произведение 3*a^2*b целиком возводится во вторую степень. Применяем формулу степени произведения: (3a^2b)^2 = 3^2*(a^2)^2*b^2. Считаем: 3^2 = 9, (a^2)^2 = a^4, b^2 остается b^2. Ответ: 9a^4b^2. Проверка при a=2, b=1: исходное выражение (3*4*1)^2 = 12^2 = 144. Итоговое выражение 9*16*1 = 144. Совпадение подтверждает, что степень распределена по всем множителям. Дополнительная проверка: если выполнить обратную подстановку в исходную запись, обе части дают одно и то же значение, а единицы ответа соответствуют величине из условия.

Частая ошибка

Часто забывают возвести в степень числовой коэффициент: (2x)^3 ошибочно пишут как 2x^3 вместо 8x^3. Еще одна ошибка - применять правило к сумме. В выражении (a+b)^2 нельзя отдельно возвести a и b без среднего члена. При отрицательном коэффициенте проверяйте четность показателя: (-2x)^2 дает 4x^2, а (-2x)^3 дает -8x^3.

Практика

Задачи с решением

Возвести произведение в квадрат

Условие. Упростите (5xy)^2.

Решение. Возводим каждый множитель: 5^2*x^2*y^2 = 25x^2y^2.

Ответ. 25x^2y^2

Возвести одночлен в куб

Условие. Упростите (-2a^2b)^3.

Решение. (-2)^3=-8, (a^2)^3=a^6, b^3=b^3. Ответ: -8a^6b^3.

Ответ. -8a^6b^3

Дополнительные источники

Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И. Алгебра. 7 класс. Разделы «Выражения», «Уравнения», «Степень с натуральным показателем»
Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра. 7 класс. Главы о линейных уравнениях, степенях и многочленах
ФИПИ. ОГЭ по математике: кодификатор проверяемых требований, раздел «Алгебраические выражения и уравнения»

Связанные формулы

Математика

Произведение степеней с одинаковым основанием

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

При умножении степеней с одинаковым основанием основание сохраняют, а показатели складывают, потому что множители одного вида объединяются.

Математика

Степень степени

$(a^m)^n = a^{mn}$

При возведении степени в степень основание сохраняют, а показатели перемножают, потому что число одинаковых множителей повторяется группами.

Математика

Степень одночлена

$(ax^m)^n = a^n x^{mn}$

При возведении одночлена в степень коэффициент возводится в эту степень, а показатели степеней у переменных умножаются на показатель внешней степени.

Математика

Произведение одночленов

$(ax^m)(bx^n) = abx^{m+n}$

Произведение одночленов получают перемножением коэффициентов и сложением показателей степеней у одинаковых оснований. Формула связывает тему одночленов с правилами степеней и используется при умножении многочленов.

Математика

Равносильные преобразования уравнения

$A = B \Longleftrightarrow A + m = B + m$

Равносильные преобразования меняют запись уравнения, но сохраняют все его решения. В 7 классе это основа переноса слагаемых, раскрытия скобок и деления на ненулевой коэффициент.

Математика

Приведение подобных слагаемых

$ka + ma = (k + m)a$

Приведение подобных слагаемых позволяет заменить сумму однотипных членов одним членом с общим буквенным множителем. Это базовое действие для упрощения выражений, решения линейных уравнений и подготовки многочленов к дальнейшим преобразованиям.

Математика

Умножение многочлена на многочлен

$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$

Чтобы умножить многочлен на многочлен, каждый член первого многочлена умножают на каждый член второго, затем приводят подобные слагаемые.

Математика

Вынесение общего множителя за скобки

$ab + ac = a(b + c)$

Вынесение общего множителя за скобки превращает сумму одночленов с общей частью в произведение. Это первый и самый важный способ разложения многочлена на множители в 7 классе.