Все формулы РФ

Математика / Алгебра

Степень одночлена

При возведении одночлена в степень коэффициент возводится в эту степень, а показатели степеней у переменных умножаются на показатель внешней степени.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаОГЭФормулы по математике за 7 классАлгебраМногочлены, разложение на множителиЕсть историческая справка

Формула

$$(ax^m)^n = a^n x^{mn}$$

Обозначения

$a$
коэффициент одночлена
$x$
переменная или основание степени
m, n
показатели степеней

Условия применения

  • В степень возводится весь одночлен, а не только последняя переменная.
  • Каждый множитель одночлена возводится в указанную степень.
  • Показатели степеней у переменных умножаются.

Ограничения

  • Если скобок нет, степень может относиться только к ближайшему множителю; запись -3x^2 и (-3x)^2 дает разные результаты.
  • Нельзя забывать возводить коэффициент в степень.
  • Знак отрицательного коэффициента зависит от четности степени.

Подробное объяснение

Возведение одночлена в степень означает повторное умножение этого одночлена на самого себя. Если (-2a^3)^4 раскрыть по смыслу, получится четыре одинаковых множителя: (-2a^3)(-2a^3)(-2a^3)(-2a^3). Коэффициенты перемножаются между собой, а степени с одинаковыми основаниями объединяются.

Правило (x^m)^n = x^{mn} появляется потому, что степень x^m повторяется n раз. Внутри каждой такой степени уже есть m множителей x, поэтому всего получается m * n множителей.

Степень одночлена особенно важна перед использованием формул сокращенного умножения. Например, в выражении (3x)^2 - 16 нужно понимать, что (3x)^2 = 9x^2, и только после этого видеть разность квадратов.

Отдельное внимание нужно уделять отрицательным коэффициентам. Если степень четная, отрицательный знак исчезает в результате умножения пар минусов. Если степень нечетная, знак сохраняется. Поэтому запись (-3x)^2 и -3x^2 дает разные выражения и разные значения при подстановке.

Как пользоваться формулой

  1. Проверьте, что в степень возводится весь одночлен.
  2. Возведите коэффициент в степень.
  3. Умножьте показатели степеней переменных на внешний показатель.
  4. Определите знак результата.
  5. Запишите одночлен в стандартном виде.

Историческая справка

Степенная запись стала одним из главных инструментов символической алгебры, потому что позволила коротко записывать повторное умножение. Правило степени одночлена не является отдельным открытием: оно складывается из более общих законов степеней и умножения, которые постепенно вошли в школьные курсы после закрепления современной алгебраической нотации. До появления удобной символики подобные преобразования приходилось объяснять длинными словесными фразами. Современная запись делает видимой структуру выражения: коэффициент, переменные, показатели степеней и скобки. В учебной практике это правило важно как способ объединить несколько законов степеней в один устойчивый алгоритм.

Историческая линия формулы

У формулы нет одного автора. Это следствие определения степени, правила степени произведения и правила степени степени. В историческом описании корректнее связывать ее с развитием обозначений степеней и с закреплением законов действий над буквенными выражениями.

Пример

Упростим (-2a^3b^2)^4. Коэффициент: (-2)^4 = 16, потому что четная степень делает результат положительным. Переменная a: (a^3)^4 = a^12. Переменная b: (b^2)^4 = b^8. Получаем 16a^12b^8. Если бы скобок не было, смысл записи мог бы измениться: степень относилась бы не ко всему одночлену, а только к той части, которая непосредственно указана как основание. Поэтому в решении сначала читают скобки, затем отдельно обрабатывают коэффициент, знак и каждую переменную. Такая последовательность защищает от двух типичных ошибок: забыть коэффициент и неверно определить знак.

Частая ошибка

Часто забывают возвести коэффициент в степень и пишут (-2a^3)^2 = -2a^6 вместо 4a^6. Еще одна ошибка - складывать показатели вместо умножения: (x^3)^4 = x^12, а не x^7. Отдельно нужно следить за минусом: (-a)^2 = a^2, но -a^2 означает число, противоположное a^2.

Практика

Задачи с решением

Возвести одночлен в степень

Условие. Упростите (3x^2y)^3.

Решение. Коэффициент: 3^3 = 27. Переменная x: (x^2)^3 = x^6. Переменная y: y^3.

Ответ. 27x^6y^3

Разобрать знак

Условие. Упростите (-4a^2)^2.

Решение. Скобки показывают, что в квадрат возводится весь одночлен. (-4)^2 = 16, (a^2)^2 = a^4.

Ответ. 16a^4

Дополнительные источники

  • Алгебра 7 класса: разделы об одночленах, многочленах и линейных уравнениях
  • Кодификатор проверяемых требований ОГЭ по математике: алгебраические выражения, уравнения и системы

Связанные формулы

Математика

Степень степени

$(a^m)^n = a^{mn}$

При возведении степени в степень показатели перемножаются.

Математика

Степень произведения

$(ab)^n = a^n b^n$

Степень произведения равна произведению степеней каждого множителя.

Математика

Произведение одночленов

$(ax^m)(bx^n) = abx^{m+n}$

Произведение одночленов получают перемножением коэффициентов и сложением показателей степеней у одинаковых оснований. Формула связывает тему одночленов с правилами степеней и используется при умножении многочленов.