Все формулы РФ

Математика / Алгебра

Сумма первых n членов геометрической прогрессии

Сумма первых n членов геометрической прогрессии выражается через первый член, знаменатель q и число членов n, если q не равен 1.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаОГЭФормулы по математике за 9 классФормулы по математике для ОГЭАлгебраАрифметическая и геометрическая прогрессииКалькуляторЕсть историческая справка

Формула

$$S_n=b_1\frac{q^n-1}{q-1},\quad q\ne1$$
Сумма степеней Сокращение при умножении на q

Показаны строки S_n и qS_n; одинаковые промежуточные члены вычитаются, остаются крайние члены.

Формула суммы появляется из сокращения почти всех членов ряда.

Обозначения

$S_n$
сумма первых n членов геометрической прогрессии
$b_1$
первый член прогрессии
$q$
знаменатель прогрессии
$n$
число складываемых членов

Условия применения

  • Последовательность является геометрической прогрессией.
  • Знаменатель q не равен 1 для данной формы формулы.
  • Суммируются первые n членов, начиная с b1.

Ограничения

  • Если q = 1, все члены равны b1, и сумма равна S_n = nb1.
  • Формула не подходит для арифметической прогрессии.
  • При отрицательном q нужно внимательно считать степень q^n и знак числителя.

Подробное объяснение

Сумма геометрической прогрессии складывает члены, которые отличаются умножением на q. Прямое сложение быстро становится неудобным, потому что появляются степени q. Формула собирает эту сумму в компактную дробь.

Идея вывода такая: сумму S_n умножают на q, затем вычитают исходную сумму. Почти все промежуточные члены сокращаются, остаются только первый и следующий после последнего степенной член. Поэтому возникает выражение с q^n.

Условие q != 1 важно: если q = 1, прогрессия состоит из одинаковых членов, и дробная формула теряет смысл из-за нулевого знаменателя. В этом частном случае сумма проще: nb1.

Формула работает при положительных и отрицательных q, но при отрицательном знаменателе знаки членов чередуются. Тогда особенно полезно проверять результат прямым сложением для первых нескольких членов.

На ОГЭ задачи с суммой геометрической прогрессии часто проверяют не только знание формулы, но и аккуратную работу со степенями, знаками и условием q != 1.

Как пользоваться формулой

  1. Проверьте, что прогрессия геометрическая.
  2. Запишите b1, q и число членов n.
  3. Убедитесь, что q не равно 1.
  4. Вычислите q^n и подставьте в формулу суммы.
  5. При небольшом n проверьте ответ прямым сложением членов.

Историческая справка

Суммы геометрических прогрессий встречались в задачах о делении величин, росте населения, процентах и бесконечных рядах. Конечная сумма была важна задолго до анализа бесконечных рядов: нужно было считать накопления, платежи, удвоения и повторяющиеся доли. В школьной алгебре 9 класса формула суммы первых n членов показывает мощный прием: вместо перечисления всех членов можно работать с законом последовательности. Позднее та же идея стала основой для понимания финансовых начислений и сумм бесконечно убывающих рядов. Эта тема также готовит к сложным процентам, финансовым расчетам и более позднему изучению рядов. Поэтому конечная сумма служит мостом между школьными прогрессиями и более поздними темами рядов.

Пример

Найдите сумму первых 5 членов геометрической прогрессии, если b1 = 2, q = 3. Подставим: S5 = 2*(3^5 - 1)/(3 - 1) = 2*(243 - 1)/2 = 242. Проверка прямым сложением: члены равны 2, 6, 18, 54, 162; сумма 2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242. Формула дала тот же результат, но без длинного сложения степеней. Если бы q было равно 1, эту дробь использовать нельзя: знаменатель стал бы нулем, а сумма равнялась бы 5*b1. Поэтому условие q != 1 - не формальность, а обязательная проверка перед подстановкой. При малом n такая проверка особенно надежна.

Частая ошибка

Частая ошибка - применять формулу при q = 1 и получать деление на ноль. Вторая ошибка - менять местами q^n - 1 и q - 1 без учета знаков. Третья ошибка - подставлять n - 1 вместо n в степени, потому что в формуле члена стоит n - 1. Еще одна ошибка - использовать последний член bn вместо первого b1 без перехода к другой форме формулы.

Практика

Задачи с решением

Сумма пяти членов

Условие. b1 = 1, q = 2. Найдите S5.

Решение. S5 = 1*(2^5 - 1)/(2 - 1) = 31.

Ответ. 31

Случай q = 1

Условие. b1 = 4, q = 1. Найдите сумму первых 6 членов.

Решение. Все члены равны 4, поэтому S6 = 6*4 = 24. Дробную формулу применять нельзя.

Ответ. 24

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

  • OpenStax Algebra and Trigonometry 2e, раздел Geometric Sequences
  • OpenStax Algebra and Trigonometry 2e, раздел Series and Their Notations
  • Кодификатор проверяемых требований ОГЭ по математике: прогрессии

Связанные формулы

Математика

n-й член геометрической прогрессии

$b_n=b_1 q^{n-1}$

n-й член геометрической прогрессии равен первому члену, умноженному на знаменатель прогрессии в степени n - 1, то есть после n - 1 одинаковых умножений.

Финансы

Сложные проценты с ежегодной капитализацией

$FV=P(1+r)^n$

Формула сложных процентов показывает будущую стоимость суммы, когда проценты после каждого периода добавляются к капиталу и в следующих периодах тоже участвуют в начислении.