Все формулы РФ

Математика / Алгебра

n-й член арифметической прогрессии

n-й член арифметической прогрессии равен первому члену плюс произведение разности прогрессии на n - 1 шагов от начала последовательности.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаОГЭФормулы по математике за 9 классФормулы по математике для ОГЭАлгебраАрифметическая и геометрическая прогрессииФункции и графикиКалькуляторЕсть историческая справка

Формула

$$a_n=a_1+(n-1)d$$
Числовая прямая n - 1 одинаковых шагов

На прямой отмечены a1, a2, a3 и an; между соседними точками одинаковый шаг d.

До n-го члена от первого нужно сделать n - 1 шагов.

Обозначения

$a_n$
n-й член арифметической прогрессии
$a_1$
первый член прогрессии
$d$
разность арифметической прогрессии
$n$
номер члена прогрессии

Условия применения

  • Последовательность является арифметической: каждый следующий член получается прибавлением одной и той же разности d.
  • Номер n является натуральным числом.
  • Разность d может быть положительной, отрицательной или равной нулю.

Ограничения

  • Формула не подходит для геометрической прогрессии, где каждый следующий член умножается на одно и то же число.
  • Если известен не первый член, а другой, формулу нужно перестроить относительно известного номера.
  • Нельзя путать номер n и значение члена an: номер показывает место в последовательности.

Подробное объяснение

Арифметическая прогрессия устроена как равномерное движение по числовой прямой: каждый шаг меняет значение на одну и ту же величину d. Первый член - это старт, а номер n показывает, сколько шагов нужно сделать от старта.

До второго члена один шаг, до третьего два шага, до n-го члена n - 1 шаг. Поэтому в формуле стоит множитель n - 1, а не n. Это самый важный смысл формулы.

Если d положительно, прогрессия возрастает. Если d отрицательно, она убывает. Если d = 0, все члены одинаковы, и формула все равно работает: a_n = a_1.

Формула помогает решать обратные задачи. Если известны a_n, a_1 и n, можно найти d. Если известны a_n, a_1 и d, можно найти номер n, но нужно проверить, что он натуральный.

На ОГЭ арифметическая прогрессия часто появляется в текстовых задачах: ряды кресел, ежедневное увеличение, лестницы, расписания. Важно сначала доказать себе, что прибавляется одна и та же величина.

Как пользоваться формулой

  1. Проверьте, что последовательность арифметическая.
  2. Запишите первый член a1 и разность d.
  3. Определите номер n нужного члена.
  4. Вычислите n - 1, то есть число шагов от первого члена.
  5. Подставьте значения в формулу и проверьте знак разности.

Историческая справка

Последовательности с постоянной разностью встречались в задачах счета, календарей, распределения предметов и суммирования еще в древней математике. Арифметическая прогрессия стала удобной моделью равномерного изменения: каждое новое значение отличается от предыдущего на одну и ту же величину. В школьной алгебре эта тема связывает числовые последовательности с линейной функцией, потому что формула a_n = a_1 + (n-1)d фактически задает линейную зависимость от номера. В практических задачах такая модель описывает равные прибавки: ряды, тарифы, ступени, баллы и расписания. В 9 классе прогрессии важны еще и как подготовка к более общим последовательностям.

Пример

Арифметическая прогрессия начинается с a1 = 7, разность d = 3. Найдем десятый член. Подставляем n = 10: a10 = 7 + (10 - 1)*3 = 7 + 27 = 34. Проверка через смысл: от первого до десятого члена нужно сделать не десять, а девять шагов, поэтому множитель равен n - 1. Если выписать начало прогрессии 7, 10, 13, 16, ..., каждый шаг увеличивает значение на 3, и к десятому месту прибавится девять таких шагов. Поэтому ответ 34 не является суммой членов, а только значением одного, десятого члена. Для суммы понадобилась бы другая формула.

Частая ошибка

Частая ошибка - писать a_n = a_1 + nd и делать на один шаг больше. Вторая ошибка - забывать знак разности: если прогрессия убывает, d отрицательно. Третья ошибка - путать первый член и нулевой шаг: первый член уже дан, поэтому до него не нужно прибавлять d. Еще одна ошибка - использовать формулу суммы вместо формулы отдельного члена.

Практика

Задачи с решением

Найти член прогрессии

Условие. a1 = 4, d = 5. Найдите a8.

Решение. a8 = 4 + (8-1)*5 = 4 + 35 = 39.

Ответ. 39

Убывающая прогрессия

Условие. a1 = 20, d = -2. Найдите a6.

Решение. a6 = 20 + (6-1)*(-2) = 20 - 10 = 10.

Ответ. 10

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

  • OpenStax Algebra and Trigonometry 2e, раздел Sequences and Their Notations
  • OpenStax Algebra and Trigonometry 2e, раздел Arithmetic Sequences
  • Кодификатор проверяемых требований ОГЭ по математике: последовательности и прогрессии

Связанные формулы

Математика

n-й член геометрической прогрессии

$b_n=b_1 q^{n-1}$

n-й член геометрической прогрессии равен первому члену, умноженному на знаменатель прогрессии в степени n - 1, то есть после n - 1 одинаковых умножений.

Аналитика

Среднее арифметическое

$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$

Среднее арифметическое показывает типичный уровень числового показателя как сумму всех значений, деленную на количество наблюдений.