Все формулы РФ

Математика / Матрицы, определители

Композиция линейных отображений и произведение матриц

Матрица композиции линейных отображений равна произведению их матриц в том же порядке применения справа налево: сначала T, затем S.

Опубликовано: Обновлено:

Линейная алгебраЛинейные отображенияМатрицыМатрица отображения

Формула

$$[S\circ T]=[S][T]$$
composition-chain Сначала T, затем S

Цепочка V -> W -> U с матрицами A и B показывает, почему итоговая матрица равна BA.

Правая матрица действует первой, левая - второй.

Обозначения

$T$
первое линейное отображение V -> W, отображение
$S$
второе линейное отображение W -> U, отображение
$S\circ T$
композиция: сначала T, затем S, отображение
$[S][T]$
произведение матриц, представляющих S и T в согласованных базисах, матрица

Условия применения

  • Область значений T должна совпадать с областью определения S или быть согласована через выбранные базисы.
  • Матрицы должны иметь совместимые размеры для умножения.
  • Базисы промежуточного пространства должны совпадать: выходной базис T должен быть входным базисом S.

Ограничения

  • Порядок важен: [S][T] обычно не равен [T][S], а иногда второе произведение вообще не определено.
  • Если базисы промежуточного пространства не согласованы, между матрицами нужна дополнительная матрица перехода.
  • Формула применима к линейным отображениям; композиция нелинейных правил не описывается постоянным произведением матриц.

Подробное объяснение

Произведение матриц устроено так, чтобы соответствовать последовательному применению линейных отображений. Если T имеет матрицу A, то координаты после первого шага равны Ax. Если S имеет матрицу B, то после второго шага получаем B(Ax). По ассоциативности умножения это равно (BA)x. Поэтому матрица всей композиции - BA.

Формула объясняет смысл матричного умножения лучше, чем механическое правило строк и столбцов. Каждый столбец произведения BA является образом соответствующего базисного вектора после двух действий: сначала A переводит базисный вектор в промежуточный вектор, затем B переводит этот результат дальше. Поэтому произведение матриц кодирует не просто арифметику, а цепочку преобразований.

В задачах с несколькими преобразованиями порядок особенно важен. Поворот, затем растяжение может дать другой результат, чем растяжение, затем поворот. Смена координат, затем применение оператора отличается от применения оператора, затем смены координат. Именно из этой некоммутативности растут многие формулы линейной алгебры, включая подобие матриц S^{-1}AS.

В произвольных базисах формула сохраняется при условии согласованности базисов. Если T представлен как A_{C<-B}, а S как D_{E<-C}, то S∘T представлен как D_{E<-C} A_{C<-B}. Общий промежуточный базис C должен быть одинаковым в обеих матрицах.

Как пользоваться формулой

  1. Определите, какое отображение применяется первым.
  2. Поставьте матрицу первого отображения справа.
  3. Проверьте совместимость размеров и промежуточных базисов.
  4. Перемножьте матрицы в порядке последнего действия слева.
  5. При необходимости проверьте результат на простом векторе.

Историческая справка

Связь композиции линейных отображений с произведением матриц стала одной из причин, по которой матрицы превратились из таблиц коэффициентов в самостоятельные алгебраические объекты. В линейных подстановках XIX века последовательное выполнение замен переменных естественно приводило к правилу умножения коэффициентов. Работы Кэли по теории матриц сделали операции над матрицами предметом изучения, а не только способом записать вычисление. Позже, в абстрактной линейной алгебре, это получило современную формулировку: матричное умножение является координатной записью композиции линейных отображений. Эта идея также объясняет, почему матричная алгебра так быстро стала языком геометрических преобразований, динамических систем и операторов.

Историческая линия формулы

Формула [S∘T]=[S][T] является современной учебной формой общей идеи линейных подстановок и матричного умножения. Ее уместно связывать с Кэли, Сильвестром и развитием теории матриц, но не представлять как единоличное открытие одного автора.

Артур Кэли 1821-1895Джеймс Джозеф Сильвестр 1814-1897Фердинанд Георг Фробениус 1849-1917

Пример

Пусть T:R^2 -> R^2 имеет матрицу A=[[1,2],[0,1]], а S:R^2 -> R^2 имеет матрицу B=[[2,0],[1,1]]. Композиция S∘T означает: сначала применяем T, потом S. Ее матрица равна BA, а не AB. Считаем BA=[[2,0],[1,1]][[1,2],[0,1]]=[[2,4],[1,3]]. Проверим на x=(3,1). Сначала T(x)=A x=(5,1). Затем S(T(x))=B(5,1)=(10,6). Теперь одним действием: BA x=[[2,4],[1,3]](3,1)=(10,6). Результат совпал. Если посчитать AB, получится другая матрица [[4,2],[1,1]], которая описывает композицию T∘S, а не S∘T. Это хороший тест на порядок действий.

Частая ошибка

Главная ошибка - умножать матрицы в порядке чтения слева направо и получать AB вместо BA. В записи S∘T правое отображение действует первым, поэтому его матрица стоит справа. Вторая ошибка - не проверять размеры: если T:R^3 -> R^2, а S:R^4 -> R^2, композиция S∘T не определена. Третья ошибка - игнорировать базисы промежуточного пространства; если T выдает координаты в одном базисе W, а S ожидает координаты в другом, произведение матриц без перехода даст неверный результат.

Практика

Задачи с решением

Найти матрицу композиции

Условие. A=[[1,0],[2,1]] представляет T, B=[[3,1],[0,2]] представляет S. Найдите матрицу S∘T.

Решение. Сначала T, затем S, значит нужна матрица BA. BA=[[3,1],[0,2]][[1,0],[2,1]]=[[5,1],[4,2]].

Ответ. [S∘T]=[[5,1],[4,2]].

Проверить порядок

Условие. Для тех же A и B найдите, совпадают ли BA и AB.

Решение. AB=[[1,0],[2,1]][[3,1],[0,2]]=[[3,1],[6,4]], а BA=[[5,1],[4,2]]. Матрицы разные.

Ответ. Нет, порядок композиции менять нельзя.

Дополнительные источники

  • MIT OpenCourseWare 18.06SC, composition and matrix multiplication
  • Jim Hefferon, Linear Algebra, composition of homomorphisms
  • Arthur Cayley, A Memoir on the Theory of Matrices

Связанные формулы

Математика

Матричное произведение

$(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{m}a_{ik}b_{kj}$

Матричное произведение строит элемент новой матрицы как скалярное произведение строки первой матрицы и столбца второй. Порядок множителей важен.

Математика

Матрица линейного отображения в произвольных базисах

$[T(v)]_C=A_{C\leftarrow B}[v]_B,\quad A_{C\leftarrow B}=\big[[T(b_1)]_C\ \cdots\ [T(b_n)]_C\big]$

Матрица отображения в базисах B и C переводит координаты входного вектора в базисе B в координаты его образа в базисе C. Ее столбцы - координаты образов базисных векторов.

Математика

Матрица оператора при смене базиса

$[T]_C=S^{-1}[T]_B S,\quad [v]_B=S[v]_C$

При смене базиса матрица одного и того же линейного оператора меняется по формуле подобия. Это позволяет описывать один оператор разными матрицами без изменения самого действия на пространстве.