Все формулы РФ

Математика / Матрицы, определители

Размерность векторного пространства

Размерность конечномерного векторного пространства - это число векторов в любом его базисе. Она показывает, сколько независимых направлений нужно для описания всех элементов пространства.

Опубликовано: Обновлено:

Линейная алгебраРазмерностьБазисРанг и дефект

Формула

$$\dim V=n\quad\Longleftrightarrow\quad \text{любой базис }V\text{ содержит }n\text{ векторов}$$
dimension-ladder Размерность как число независимых направлений

Можно показать точку, прямую, плоскость и пространство с подписью 0, 1, 2, 3 независимых направления.

Размерность считает не количество точек, а минимальное число независимых направлений для описания пространства.

Обозначения

$V$
векторное пространство, пространство
$\dim V$
размерность пространства V, число
$n$
число векторов в базисе, штук
$B$
любой базис пространства V, набор векторов

Условия применения

  • Пространство рассматривается как конечномерное, если речь идет о числе n.
  • B должен быть настоящим базисом: независимым и порождающим набором.
  • Размерность подпространства считается внутри того же поля скаляров, что и исходное пространство.

Ограничения

  • Для бесконечномерных пространств размерность может быть бесконечной, и простые правила конечномерной алгебры требуют аккуратной формулировки.
  • Размерность пространства не равна количеству всех его векторов: даже прямая над R содержит бесконечно много векторов, но имеет размерность 1.
  • Размерность подпространства не обязана совпадать с размерностью окружающего пространства.

Подробное объяснение

Размерность отвечает на вопрос, сколько независимых чисел нужно, чтобы описать произвольный элемент пространства. Для прямой достаточно одного параметра, для плоскости - двух, для R^n - n. В абстрактном пространстве многочленов степени не выше 3 размерность равна 4, потому что любой многочлен записывается как a0+a1x+a2x^2+a3x^3.

Определение через базис важно потому, что разные базисы одного пространства могут выглядеть очень по-разному, но число векторов в них одинаково. Это фундаментальный факт конечномерной линейной алгебры: нельзя найти базис плоскости из трех векторов без зависимости и нельзя описать всю плоскость одним вектором. Поэтому размерность является инвариантом пространства, а не свойством конкретного способа записи.

Размерность тесно связана с рангом и ядром. Для линейного отображения T: V -> W теорема о ранге и дефекте говорит, что dim V = dim ker T + dim Im T. В системах уравнений это превращается в подсчет ведущих и свободных переменных. В геометрии - в понимание того, насколько отображение сжимает, проецирует или сохраняет независимые направления.

В задачах размерность помогает быстро отсечь невозможные ответы. Три вектора не могут быть независимыми в двумерном пространстве. Один вектор не может порождать всю плоскость. Линейное отображение из R^2 в R^3 не может быть сюръективным на весь R^3, потому что образ имеет размерность не больше 2.

Как пользоваться формулой

  1. Найдите базис пространства или подпространства.
  2. Посчитайте число векторов в найденном базисе.
  3. Если пространство задано системой уравнений, выразите зависимые переменные через свободные.
  4. Если пространство задано порождающими векторами, найдите ранг матрицы из этих векторов.
  5. Используйте размерность для проверки независимости, базиса и свойств отображений.

Историческая справка

Современное понятие размерности формировалось вместе с развитием координатной геометрии, теории систем уравнений и абстрактных векторных пространств. В геометрии размерность сначала воспринималась наглядно: линия, поверхность, объем. В алгебре XIX века стало ясно, что похожий счет независимых направлений работает для объектов, которые не являются обычными фигурами: многочленов, матриц, решений уравнений. Работы Грассмана важны именно этой линией - они поддержали взгляд на пространства и независимость как самостоятельные понятия. Позднее теоремы о базисах закрепили, что все базисы конечномерного пространства имеют одинаковое число элементов. Так размерность стала строгим инвариантом.

Историческая линия формулы

Размерность конечномерного пространства не является открытием одного автора. В полезной исторической подаче стоит связывать ее с координатной традицией, развитием линейной независимости, работами Грассмана и строгими теоремами о базисах, включая линию, в которой важна лемма Штейница о замене.

Герман Грассман 1809-1877

Пример

Рассмотрим подпространство U в R^3, заданное уравнением x+y+z=0. Найдем его размерность. Из уравнения z=-x-y. Пусть x=s, y=t. Тогда любой вектор из U имеет вид (s,t,-s-t)=s(1,0,-1)+t(0,1,-1). Два найденных вектора независимы, потому что из a(1,0,-1)+b(0,1,-1)=0 следует a=0 и b=0 по первым двум координатам. Значит они образуют базис U, а dim U=2. Геометрически это плоскость через начало координат в R^3, и для описания точки на ней нужны два независимых параметра. Окружающее пространство трехмерно, но само подпространство имеет только две степени свободы.

Частая ошибка

Часто размерность путают с количеством координат в окружающем пространстве. Подпространство U из примера лежит в R^3, но имеет размерность 2, потому что внутри него хватает двух параметров. Еще одна ошибка - считать число уравнений размерностью ограничения: одно независимое линейное уравнение в R^3 обычно оставляет размерность 2, а не 1. Также важно проверять независимость уравнений или векторов: две одинаковые связи не уменьшают размерность дважды.

Практика

Задачи с решением

Размерность пространства решений

Условие. Найдите размерность множества решений x-y+z=0 в R^3.

Решение. Выразим x=y-z. Пусть y=s, z=t. Тогда (x,y,z)=(s-t,s,t)=s(1,1,0)+t(-1,0,1). Два вектора независимы.

Ответ. Размерность равна 2.

Размерность линейной оболочки

Условие. Найдите размерность span{(1,0,1),(2,0,2),(0,1,1)}.

Решение. Второй вектор равен 2(1,0,1), поэтому он лишний. Векторы (1,0,1) и (0,1,1) независимы.

Ответ. Размерность равна 2.

Дополнительные источники

  • Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, dimension
  • Jim Hefferon, Linear Algebra, dimension and bases
  • MIT OpenCourseWare 18.06SC, vector spaces and dimension

Связанные формулы

Математика

Базис векторного пространства

$B=(e_1,\ldots,e_n),\quad V=\operatorname{span}B,\quad e_1,\ldots,e_n\ \text{линейно независимы}$

Базис векторного пространства - это набор векторов, который одновременно порождает все пространство и не содержит лишних зависимых направлений. Через базис любой вектор записывается единственным способом.

Математика

Теорема о ранге и дефекте

$\dim V=\operatorname{rank}T+\dim\ker T$

Теорема о ранге и дефекте говорит, что размерность исходного пространства равна сумме размерности образа и размерности ядра линейного отображения.

Математика

Размерности ядра и образа матрицы

$\dim\ker A=n-r,\quad \dim\operatorname{Im}A=r$

Если матрица A имеет n столбцов и ранг r, то размерность ее ядра равна n-r, а размерность образа равна r. Это матричная форма теоремы о ранге и дефекте.