Математика / Матрицы, определители

Размерность пространства решений однородной системы

Размерность пространства решений однородной системы Ax = 0 равна числу неизвестных минус ранг матрицы A. Это частный и особенно важный случай подсчета свободных переменных.

Опубликовано: 12 мая 2026 г.Обновлено: 12 мая 2026 г.

Формула

\dim\ker A=n-\operatorname{rank}A

ранг и дефект Столбцы делятся на ведущие и свободные

Ранг считает ведущие направления, а размерность ядра считает оставшиеся свободные направления.

rank A + dim ker A = n.

Обозначения

$\ker A$: ядро матрицы A, множество решений Ax = 0, линейное пространство
$\dim\ker A$: размерность ядра, или дефект матрицы, штук
$n$: число столбцов A, то есть число неизвестных, штук
$\operatorname{rank}A$: ранг матрицы A, штук

Условия применения

Система должна быть однородной: правая часть равна нулевому столбцу.
n равно числу столбцов матрицы A.
Ранг считается над тем же полем, над которым рассматриваются решения.

Ограничения

Формула дает размерность, но для явного базиса ядра нужно выполнить исключение и найти специальные решения.
Если матрица задана численно с ошибками измерений, ранг и размерность ядра могут зависеть от допустимого порога.
Для неоднородной системы Ax = b эта формула описывает направления решений, но не дает частное решение.

Подробное объяснение

Однородная система Ax = 0 всегда совместна, потому что x = 0 является решением. Поэтому для нее вопрос состоит не в существовании, а в том, есть ли ненулевые решения и сколько независимых параметров нужно для их описания. После приведения A к ступенчатому виду каждый ведущий столбец соответствует ведущей переменной, а каждый неведущий столбец - свободной переменной.

Количество свободных переменных равно n - rank A. В однородном случае множество решений является не просто аффинным множеством, а линейным пространством: сумма двух решений снова решение, и умножение решения на число тоже дает решение. Поэтому число свободных параметров становится размерностью этого пространства, то есть dim ker A.

Формула dim ker A = n - rank A является одной из форм теоремы о ранге и дефекте. Она объясняет баланс между тем, сколько независимой информации матрица сохраняет в результате, и тем, сколько направлений она переводит в ноль. Если rank A = n, ядро нулевое и однородная система имеет только тривиальное решение. Если rank A < n, ядро имеет положительную размерность и существуют ненулевые решения.

Эта идея крайне важна для следующих тем линейной алгебры. Через ядро описывают инъективность линейных отображений, собственные векторы как ядро матрицы A - lambda I, решения дифференциальных систем, ограничения в оптимизации и множество допустимых изменений, не влияющих на наблюдаемый результат.

Как пользоваться формулой

Убедитесь, что система имеет вид Ax = 0.
Определите число неизвестных n по числу столбцов A.
Найдите rank A.
Вычислите dim ker A = n - rank A.
Если нужен базис ядра, выберите свободные переменные и найдите специальные решения.

Историческая справка

Формула размерности ядра стала центральной после того, как системы линейных уравнений начали рассматривать как линейные отображения между пространствами. В ранней вычислительной традиции она проявлялась как подсчет свободных неизвестных в однородной системе. В более современном языке это теорема о ранге и дефекте: число столбцов матрицы раскладывается на ранг и размерность ядра. Именно эта формулировка соединяет практический метод Гаусса с абстрактной линейной алгеброй. Поэтому она служит подготовкой к темам ядра, образа, инъективности и собственных векторов, где нулевое пространство становится главным объектом, а не побочным результатом решения системы.

Историческая линия формулы

Формула не является личной формулой одного математика. Она связана с развитием понятия ранга, ядра линейного отображения и размерности пространства; исторически рядом стоят Кронекер, Капелли и более широкий переход от вычислительной алгебры к теории линейных пространств.

Пример

Рассмотрим однородную систему x + y + z = 0. Матрица A имеет одну строку [1, 1, 1] и три столбца, поэтому n = 3. Ранг A равен 1, так как строка ненулевая и независимая. Следовательно, dim ker A = 3 - 1 = 2. Действительно, можно выбрать y = s, z = t, тогда x = -s - t. Векторное решение имеет вид (x, y, z) = s(-1, 1, 0) + t(-1, 0, 1). Два независимых направляющих вектора образуют базис ядра. При любых s и t сумма координат равна нулю, поэтому вся плоскость решений лежит в ядре. Размерность два означает, что для описания этой плоскости нужны два независимых параметра.

Частая ошибка

Часто путают размерность ядра с рангом: ранг показывает число независимых столбцовых направлений результата, а размерность ядра показывает число независимых способов получить нулевой результат. Вторая ошибка - использовать число строк вместо числа столбцов. Третья ошибка - думать, что однородная система может быть несовместной; нулевое решение всегда существует. Еще одна ошибка - записывать только нулевое решение при rank A < n, хотя в этом случае обязательно есть ненулевые решения.

Практика

Задачи с решением

Найти размерность ядра

Условие. Матрица A имеет размер 4 x 7 и rank A = 4. Найдите размерность пространства решений Ax = 0.

Решение. Число неизвестных равно числу столбцов: n = 7. По формуле dim ker A = n - rank A = 7 - 4 = 3.

Ответ. 3

Определить наличие ненулевых решений

Условие. В однородной системе 5 неизвестных и rank A = 5. Есть ли ненулевые решения?

Решение. Размерность ядра равна 5 - 5 = 0. Значит ядро состоит только из нулевого вектора.

Ответ. Нет, только нулевое решение

Дополнительные источники

18.06SC Linear Algebra notes, Kernel and rank
Jim Hefferon, Linear Algebra, Kernel of a matrix
Encyclopedia of Mathematics, Rank of a matrix

Связанные формулы

Математика

Число свободных переменных в линейной системе

$k=n-\operatorname{rank}A$

В совместной линейной системе число свободных переменных равно числу неизвестных минус ранг матрицы коэффициентов. Эти переменные становятся параметрами общего решения.

Математика

Общее решение линейной системы через параметры

$x=x_p+t_1v_1+\cdots+t_kv_k$

Общее решение совместной линейной системы записывают как одно частное решение плюс линейную комбинацию направлений однородной системы. Параметров столько, сколько свободных переменных.

Математика

Условие единственного решения линейной системы

$\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}[A\mid b]=n$

Линейная система с n неизвестными имеет единственное решение, если она совместна и общий ранг равен числу неизвестных. Тогда все переменные ведущие, свободных параметров не остается.