Все формулы РФ

Математика / Матрицы, определители

Общее решение линейной системы через параметры

Общее решение совместной линейной системы записывают как одно частное решение плюс линейную комбинацию направлений однородной системы. Параметров столько, сколько свободных переменных.

Опубликовано: Обновлено:

Линейная алгебраСистемы линейных уравненийСвободные переменныеМножество решенийРанг матрицы

Формула

$$x=x_p+t_1v_1+\cdots+t_kv_k$$
аффинное множество Частное решение плюс направления

Точка xp задает положение, а векторы v1,...,vk задают все допустимые перемещения без изменения правой части.

Общее решение неоднородной системы - это сдвиг решения однородной системы.

Обозначения

$x$
произвольное решение системы Ax = b, вектор
$x_p$
одно частное решение системы Ax = b, вектор
$v_1,\ldots,v_k$
базисные направления решений однородной системы Ax = 0, векторы
$t_1,\ldots,t_k$
свободные параметры, числа

Условия применения

  • Система Ax = b должна быть совместной.
  • Векторы v1,...,vk должны удовлетворять однородной системе Ax = 0.
  • Частное решение xp должно удовлетворять исходной неоднородной системе Ax = b.

Ограничения

  • Запись не единственна: можно выбрать другое частное решение или другой базис направлений, получив эквивалентное описание.
  • Если система несовместна, частного решения xp не существует и такая формула неприменима.
  • Параметрическая запись описывает все точные решения, но не выбирает оптимальное решение по дополнительному критерию.

Подробное объяснение

Если система Ax = b совместна, можно найти хотя бы одно решение xp. Любое другое решение x отличается от xp на вектор h = x - xp. Подставим: A(x - xp) = Ax - Axp = b - b = 0. Значит разность любых двух решений лежит в однородной системе Ax = 0. Обратно, если h решает Ax = 0, то A(xp + h) = Axp + Ah = b + 0 = b. Поэтому все решения исходной системы получаются прибавлением к частному решению любого решения однородной системы.

Дальше остается описать все решения однородной системы. После метода Гаусса свободные переменные задаются параметрами, а ведущие переменные выражаются через них. Каждому параметру соответствует направляющий вектор. Если свободных переменных k, то получается k направлений v1,...,vk и запись x = xp + t1v1 + ... + tkvk.

Эта формула делает ответ компактным и проверяемым. Чтобы проверить частное решение, его подставляют в Ax = b. Чтобы проверить направления, их подставляют в Ax = 0. Чтобы убедиться, что решений не потеряли, сравнивают число направлений с n - rank A. Если направлений меньше, часть решений не описана; если больше и они зависимы, запись может быть избыточной.

Геометрически множество решений неоднородной системы является сдвинутым линейным пространством. Однородные направления задают форму и размерность, а частное решение задает положение этого пространства. Поэтому параметрическая запись важна не только для вычислений, но и для понимания структуры задачи.

Как пользоваться формулой

  1. Приведите расширенную матрицу к ступенчатому или приведенному ступенчатому виду.
  2. Проверьте, что противоречивых строк нет.
  3. Выберите свободные переменные и обозначьте их параметрами.
  4. Выразите ведущие переменные через параметры.
  5. Отделите частное решение от направлений при параметрах и запишите векторную форму.

Историческая справка

Параметрическое описание решений сначала возникало как практический способ закончить метод исключения: переменные без ведущих элементов оставляли произвольными, а остальные выражали через них. Позднее, с развитием теории линейных пространств, эту запись стали понимать глубже: множество решений неоднородной системы является аффинным подпространством, параллельным ядру матрицы A. Такая точка зрения стала стандартной в университетской линейной алгебре и связывает системы уравнений с линейными отображениями. Она также объясняет, почему разные параметризации могут быть равносильны: меняется выбранная точка и базис направлений, но само множество решений остается тем же.

Историческая линия формулы

Формула общего решения не принадлежит одному автору. Она объединяет метод исключения, понятие ядра линейного отображения и ранговую теорию систем; в текущем разделе она логически следует после теоремы Кронекера-Капелли и подсчета свободных переменных.

Пример

Решим систему x + y + z = 4. Здесь одно уравнение и три неизвестных. Выберем y = s, z = t. Тогда x = 4 - s - t. В векторной форме это можно записать как (x, y, z) = (4, 0, 0) + s(-1, 1, 0) + t(-1, 0, 1). Вектор (4, 0, 0) - частное решение, потому что 4 + 0 + 0 = 4. Векторы (-1, 1, 0) и (-1, 0, 1) - решения однородного уравнения x + y + z = 0. Любые значения s и t дают новое решение исходной системы. Например, при s = 2 и t = -1 получаем x = 3, и сумма 3 + 2 - 1 снова равна 4. Значит формула описывает все семейство, а не отдельный пример.

Частая ошибка

Частая ошибка - записать параметры только в координатной форме и не проверить, что направляющие векторы действительно решают однородную систему. Вторая ошибка - смешать частное решение и направления: направляющий вектор должен давать ноль в правой части, а не b. Третья ошибка - забыть один параметр, если свободных переменных несколько. Еще одна проблема - считать, что другая параметризация означает другой ответ; на самом деле разные частные решения и базисы могут задавать одно и то же множество решений.

Практика

Задачи с решением

Записать общее решение

Условие. Дана система x + y = 3 с двумя неизвестными. Запишите общее решение через параметр.

Решение. Пусть y = t. Тогда x = 3 - t. В векторной форме (x, y) = (3, 0) + t(-1, 1).

Ответ. (x, y) = (3, 0) + t(-1, 1)

Проверить направляющий вектор

Условие. Для системы x + y + z = 5 предложено направление v = (1, -1, 0). Подходит ли оно?

Решение. Проверяем однородное уравнение: 1 + (-1) + 0 = 0. Значит v действительно лежит в направлении решений.

Ответ. Да, подходит

Дополнительные источники

  • 18.06SC Linear Algebra notes, Kernel and special solutions
  • Jim Hefferon, Linear Algebra, Parametrization of solution sets
  • OpenStax Precalculus 2e, Systems of equations with Gaussian elimination

Связанные формулы

Математика

Число свободных переменных в линейной системе

$k=n-\operatorname{rank}A$

В совместной линейной системе число свободных переменных равно числу неизвестных минус ранг матрицы коэффициентов. Эти переменные становятся параметрами общего решения.

Математика

Условие бесконечного числа решений линейной системы

$\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}[A\mid b]<n$

Совместная линейная система имеет бесконечно много решений, если общий ранг меньше числа неизвестных. Тогда остаются свободные переменные, и все решения описываются параметрами.