Математика / Матрицы, определители

Лемма об определителе матрицы

Лемма об определителе показывает, как меняется определитель обратимой матрицы при ранговом обновлении uv^T. Вместо пересчета всего определителя достаточно вычислить один скаляр.

Опубликовано: 12 мая 2026 г.Обновлено: 12 мая 2026 г.

Линейная алгебра

Формула

\det(A+uv^T)=\det(A)\left(1+v^TA^{-1}u\right)

rank-one-update Ранговое обновление и объем

Показать параллелепипед до и после добавления uv^T с изменением объема.

Лемма показывает, как одно ранговое изменение меняет определитель.

Обозначения

$A$: обратимая квадратная матрица, безразмерная
$u,v$: векторы согласованной размерности, безразмерная
$uv^T$: ранговое обновление матрицы, безразмерная
$\det$: определитель, безразмерная

Условия применения

Матрица A должна быть квадратной и обратимой.
Векторы u и v должны иметь размеры, согласованные с A.
Для комплексного случая v^T обычно заменяют на v^*.

Ограничения

Формула в такой записи не работает для вырожденной A без дополнительных обобщений.
Если 1+v^TA^{-1}u близко к нулю, обновленная матрица близка к вырождению.
Для численных расчетов не стоит явно вычислять A^{-1}, лучше решать систему Ax=u.

Подробное объяснение

Ранговое обновление uv^T меняет матрицу в одном направлении: вектор u задает направление добавки в пространстве столбцов, а v^T определяет, как сильно это направление зависит от входного вектора. Лемма говорит, что влияние такой добавки на определитель полностью выражается одним скаляром v^TA^{-1}u. Это резко упрощает пересчет определителя, потому что обычный расчет для большой матрицы может быть дорогим. Формула также показывает критерий возможной потери обратимости: если 1+v^TA^{-1}u=0, новый определитель равен нулю. При работе с этой формулой важно сначала проверить размерности матриц и смысл операции. В линейной алгебре многие ошибки выглядят как верные алгебраические преобразования, но ломаются на уровне размеров: нельзя менять порядок множителей, если произведение после перестановки уже не определено, и нельзя считать обратную матрицу существующей без проверки невырожденности. В численных задачах дополнительно смотрят на обусловленность, потому что формально корректная запись может давать нестабильный ответ при округлении. Поэтому формулу полезно читать не только как способ вычисления, но и как способ увидеть структуру задачи: какие подпространства участвуют, где появляется проекция, где требуется ортогональность, а где достаточно рангового обновления.

Как пользоваться формулой

Проверьте, что A квадратная и обратимая.
Решите систему A x = u вместо явного вычисления A^{-1}.
Посчитайте скаляр v^T x.
Умножьте det(A) на 1+v^T x.

Историческая справка

Формулы ранговых обновлений стали особенно важны в XX веке, когда появились задачи последовательного пересчета матриц в статистике, оптимизации и численных методах. Лемма об определителе тесно связана с блочными матрицами и формулой Вудбери. Современная запись этой формулы сложилась не сразу. Сначала похожие идеи появлялись в задачах решения систем линейных уравнений, теории квадратичных форм, аналитической механике и статистике, где матрицы использовали как компактный язык для больших наборов коэффициентов. В XX веке развитие численного анализа, вычислительной техники и прикладной статистики сделало такие тождества особенно важными: стало нужно не просто доказать существование решения, а уметь устойчиво считать его на реальных данных. Поэтому историческую атрибуцию здесь лучше понимать как цепочку вкладов: алгебраическая идея, удобная матричная запись, численный алгоритм и прикладная интерпретация часто были оформлены разными авторами и школами.

Историческая линия формулы

Лемма является стандартным результатом матричной алгебры. Ее часто рассматривают рядом с формулами Шермана-Моррисона и Вудбери, но сама идея следует из общих свойств определителя и ранговых обновлений. Формулы ранговых обновлений связаны с несколькими именами и задачами численной линейной алгебры XX века. Их корректно подавать как семейство тождеств для обновления обратных матриц и определителей, где частный случай ранга один переходит в более общую формулу Вудбери.

Пример

Если det(A)=20 и v^T A^{-1}u=0.3, то det(A+uv^T)=20*(1+0.3)=26. Это означает, что ранговое обновление увеличило объемный коэффициент преобразования в 1.3 раза. В статистике похожая идея помогает быстро обновлять лог-детерминант ковариационной матрицы после добавления одного наблюдения или признака. Для "Лемма об определителе матрицы" характерна ситуация, когда большая матрица уже разобрана или обращена, а новая информация добавляет малое ранговое изменение. В численном примере важно сравнить стоимость: пересчитать все с нуля дорого, а ранговая формула требует решить несколько систем с прежней матрицей и обратить малую внутреннюю матрицу или даже один скаляр. При этом знаменатель или малая матрица внутри формулы служат индикатором опасности: если они близки к вырождению, обновление может резко ухудшить устойчивость.

Частая ошибка

Частая ошибка - забывать множитель det(A) и считать только 1+v^TA^{-1}u. Еще одна ошибка - менять порядок скалярного произведения без проверки размеров. В практических вычислениях не следует находить A^{-1} отдельно ради одного выражения: устойчивее решить систему A x = u, а затем посчитать v^T x.

Практика

Задачи с решением

Быстрое обновление определителя

Условие. det(A)=12, v^T A^{-1}u=0.5. Найдите det(A+uv^T).

Решение. По лемме det(A+uv^T)=12*(1+0.5)=18.

Ответ. 18.

Потеря обратимости

Условие. det(A)=7, v^T A^{-1}u=-1. Что можно сказать о A+uv^T?

Решение. Множитель 1+v^T A^{-1}u равен 0, значит определитель обновленной матрицы равен 0.

Ответ. Матрица A+uv^T вырождена.

Дополнительные источники

Г. Стрэнг, Введение в линейную алгебру
Д. Лэй, Линейная алгебра и ее приложения
G. H. Golub, C. F. Van Loan, Matrix Computations
MIT OpenCourseWare, Linear Algebra

Связанные формулы

Математика

Определитель матрицы 3x3 по правилу Саррюса

$\det A=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}$

Правило Саррюса дает быстрый способ вычислить определитель матрицы 3x3 как сумму трех произведений по нисходящим диагоналям минус сумму трех произведений по восходящим диагоналям.

Математика

Дополнение Шура

$S=D-CA^{-1}B$

Дополнение Шура выражает эффективный блок матрицы после исключения другого блока. Оно появляется при блочном обращении матриц, решении систем, вычислении определителей и условных распределениях в статистике.

Математика

Формула Шермана-Моррисона

$(A+uv^T)^{-1}=A^{-1}-\frac{A^{-1}uv^TA^{-1}}{1+v^TA^{-1}u}$

Формула Шермана-Моррисона дает обратную матрицу после рангового обновления A+uv^T. Она позволяет обновить уже известную обратную матрицу без полного повторного обращения.

Математика

Формула Вудбери

$(A+UCV)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}U(C^{-1}+VA^{-1}U)^{-1}VA^{-1}$

Формула Вудбери обобщает обновление обратной матрицы на добавку малого ранга UCV. Она позволяет заменить обращение большой матрицы обращением меньшей матрицы.