Математика / Матрицы, определители

Построение матрицы квадратичной формы из полинома

Любую квадратичную форму двух- и трёхпеременных можно записать через матрицу, где коэффициенты при смешанных членах делятся пополам и переносятся в симметричные ячейки.

Опубликовано: 12 мая 2026 г.Обновлено: 12 мая 2026 г.

Линейная алгебра Строительство

Формула

q(x,y,z)=a x^2+2bxy+2cxz+d y^2+2eyz+f z^2=\begin{bmatrix}x&y&z\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a&b&c\\ b&d&e\\ c&e&f\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}.

table Карта коэффициентов в матрицу

Из каждого коэффициента полинома получается соответствующая симметричная ячейка матрицы квадратичной формы.

Смешанные члены отражаются в двух симметричных позициях.

Обозначения

$a,b,c,d,e,f$: коэффициенты квадратного полинома, скаляры
$A$: симметричная матрица формы, 3×3 матрица
$q(x,y,z)$: значение формы, скаляр
$x,y,z$: переменные, скаляры

Условия применения

Полином должен быть однородного квадратичного вида.
Смешанные члены должны быть именно 2bxy, 2cxz, 2eyz.
Порядок переменных в матричном векторе выбран фиксированно.

Ограничения

Содержит только квадратичную часть, без свободного члена и линейных слагаемых.
Для нелинейных выражений правило не применимо напрямую.
Ошибка в делении на 2 для смешанных членов ломает обратную проверку.

Подробное объяснение

Двойной члёновой вид считает пары x_i x_j и x_j x_i как одинаковые, поэтому каждый смешанный коэффициент делится между симметричными элементами a_{ij} и a_{ji}.

Квадратичная форма переводит полином второй степени на язык матриц. Это полезно потому, что геометрические свойства формы становятся спектральными свойствами симметричной матрицы: собственные векторы задают главные направления, собственные значения показывают растяжение и знак вдоль этих направлений, а определенность отвечает за форму поверхности около начала координат. Для "Построение матрицы квадратичной формы из полинома" важно различать три уровня: явный полином, матричную запись и геометрическую интерпретацию. Переход между ними позволяет не только считать значения, но и понимать, является ли форма положительной, отрицательной, вырожденной или неопределенной. В задачах оптимизации это связано с минимумами и максимумами, а в геометрии - с приведением к главным осям и классификацией квадрик.

Как пользоваться формулой

Выпиши коэффициенты при квадратных и смешанных членах.
Заполни диагональ квадратными коэффициентами.
Половину смешанных коэффициентов положи в симметричные ячейки.
Проверь, что q(x) совпадает с x^T A x на контрольной точке.

Историческая справка

Эта схема стала практической нормой в учебниках линейной алгебры после распространения координатного метода для квадратичных форм.

Квадратичные формы изучали задолго до современной матричной записи: они возникали в теории чисел, аналитической геометрии, механике и исследовании поверхностей второго порядка. В XIX веке развитие матриц, определителей и линейных преобразований сделало возможной компактную запись x^T A x и систематическое приведение форм к каноническому виду. Позже этот аппарат стал основой для оптимизации, статистики, механики и численных методов.

В учебных курсах этот исторический слой важен потому, что квадратичные формы объединяют разные области: классификацию поверхностей, устойчивость равновесий, метод главных осей, статистические ковариации и локальный анализ функций многих переменных.

Историческая линия формулы

Связано с развитием билинейных форм и матричного языка в XIX веке. Тему корректнее связывать с общей историей теории форм, матриц и спектральных методов. Вклад внесли многие математики XIX века; отдельную школьную или вузовскую формулу здесь нельзя честно приписать одному автору.

Пример

q=2x^2+4xy+6xz+3y^2+8yz+5z^2 соответствует A=[[2,2,3],[2,3,4],[3,4,5]]. Дополнительная проверка для "Построение матрицы квадратичной формы из полинома": после преобразования нужно сравнить исходный полином и матричную запись на нескольких простых векторах, например на базисных e_i и на суммах e_i+e_j. Это быстро выявляет ошибку в коэффициенте при смешанном члене: в матрице симметричной квадратичной формы половина коэффициента стоит в двух зеркальных позициях. Если для тестового вектора значения не совпадают, дальнейшие выводы о собственных значениях, главных осях или определенности будут неверными даже при аккуратной алгебре.

Частая ошибка

Частая ошибка — писать коэффициент смешанного члена 4xy как 4 в матрице (должно быть 2 в одной ячейке и 2 симметрично в парной). Самая частая ошибка - перепутать коэффициент смешанного члена. Если в полиноме стоит 2bxy, то в симметричной матрице стоят b и b; если стоит bxy, то в матрице должны стоять b/2 и b/2. Также нельзя применять критерии положительной определенности к несимметричной матрице без перехода к симметричной части, потому что антисимметричная часть в x^T A x не влияет.

Практика

Задачи с решением

Получение матрицы из многочлена

Условие. q=2x^2+4xy+6xz+3y^2+8yz+5z^2.

Решение. A = [[2,2,3],[2,3,4],[3,4,5]].

Ответ. Матрица квадратичной формы: [[2,2,3],[2,3,4],[3,4,5]].

Проверка на точке

Условие. x=1, y=-1, z=2.

Решение. q=2(1)^2+4(1)(-1)+6(1)(2)+3(-1)^2+8(-1)(2)+5(2)^2=17.

Ответ. q(1,-1,2)=17.

Дополнительные источники

Anton, Elementary Linear Algebra
Meyer, Matrix Analysis and Applied Linear Algebra

Связанные формулы

Математика

Квадратичная форма как квадратичная функция вектора

$q(x)=x^T A x = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_i x_j, \quad x \in \mathbb R^n.$

Любая квадратичная форма задаётся симметричной (или эквивалентно любая) матрицей A через скалярное произведение вектора x с образом A x.

Математика

Антисимметричная часть в квадратичной форме не влияет

$x^T A x = x^T \frac{A+A^T}{2} x = x^T A_{\mathrm{sym}} x.$

В x^T A x участвуют только симметричные коэффициенты, поэтому любую матрицу A можно заменить симметричной частью без изменения квадратичной формы.

Математика

Снятие линейного члена через сдвиг центра

$x^T A x+2b^T x+c=(x+x_0)^T A (x+x_0)+c-b^T A^{-1} b, \quad x_0=-A^{-1}b, \ (A \text{ nonsingular}).$

Если у квадратичной формы есть линейная часть, её удобно убрать сдвигом переменных x→x+x₀ и затем сводить оставшуюся чистую квадратичную часть к главным осям.