Математика / Матрицы, определители

Длина вектора в Rn

Длина вектора в евклидовом пространстве показывает, насколько далеко точка с координатами вектора находится от начала координат. Формула обобщает теорему Пифагора на любое число координат.

Опубликовано: 12 мая 2026 г.Обновлено: 12 мая 2026 г.

Формула

\|x\|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2}

Схема Длина как диагональ координатного прямоугольника

Вектор можно разложить на перпендикулярные координатные составляющие. Квадраты этих составляющих складываются, а корень дает длину диагонали.

Формула длины вектора является многомерным вариантом теоремы Пифагора.

Обозначения

$\|x\|$: евклидова длина или норма вектора x, единица координат
$x_i$: i-я координата вектора, единица координат
$n$: число координат вектора, шт.

Условия применения

Координаты рассматриваются в евклидовом пространстве с обычным скалярным произведением.
Все координаты должны быть числовыми и сопоставимыми по единицам измерения.
Формула применяется к свободному вектору или к радиус-вектору точки относительно выбранного начала координат.

Ограничения

Если координаты имеют разные единицы, например метры и секунды, их нельзя складывать под корнем без предварительного масштабирования.
В задачах с неевклидовой метрикой, весами признаков или коррелированными переменными может потребоваться другая норма или расстояние Махаланобиса.
Большая длина вектора не всегда означает большую важность объекта: интерпретация зависит от смысла координат и масштаба данных.

Подробное объяснение

Евклидова длина вектора строится на идее прямоугольного треугольника. В двумерном случае вектор с координатами (x1, x2) можно представить как диагональ прямоугольника со сторонами |x1| и |x2|. По теореме Пифагора квадрат длины диагонали равен x1^2 + x2^2. В трехмерном случае сначала находят диагональ основания, затем добавляют третью координату как высоту. Получается sqrt(x1^2 + x2^2 + x3^2). Для n координат рассуждение продолжается так же: каждая независимая координатная ось добавляет свой квадрат в сумму.

Квадраты в формуле важны по двум причинам. Во-первых, они убирают знак: координаты -3 и 3 дают одинаковый вклад в длину, потому что направление вдоль оси не должно менять размер перемещения. Во-вторых, квадраты соответствуют геометрии прямого угла: вклад координат складывается не как обычная сумма, а как сумма квадратов взаимно перпендикулярных составляющих.

В линейной алгебре эта формула является частным случаем нормы, порожденной скалярным произведением: ||x|| = sqrt(x·x). Поэтому длина вектора тесно связана со скалярным произведением и формулой угла между векторами. Если скалярное произведение меняется, например вводится матрица весов или другая метрика, меняется и понятие длины. В стандартном курсе под длиной вектора по умолчанию обычно понимают именно евклидову норму.

При практическом применении важно смотреть на масштаб координат. Если один признак измеряется в тысячах, а другой в долях, то первый почти полностью определит длину. Поэтому в анализе данных перед использованием евклидовой нормы часто выполняют стандартизацию или выбирают метрику, которая учитывает смысл признаков.

Как пользоваться формулой

Запишите все координаты вектора в одном порядке.
Проверьте, что координаты числовые и сопоставимы по единицам.
Возведите каждую координату в квадрат.
Сложите полученные квадраты.
Извлеките квадратный корень из суммы.

Историческая справка

Понятие длины направленного отрезка выросло из геометрии Евклида и практических задач измерения расстояний. В координатной геометрии, связанной с работами Рене Декарта и Пьера Ферма XVII века, геометрические объекты стали описывать числами, а расстояния - вычислять по координатам. Позже, когда векторы начали применять в механике, аналитической геометрии и физике, длина вектора стала стандартным способом измерять величину направленной величины: перемещения, скорости, силы. В XIX веке развитие векторного анализа и линейной алгебры привело к более общей идее нормы. В современном курсе линейной алгебры евклидова длина рассматривается как норма, порожденная скалярным произведением. Это делает формулу не отдельным приемом, а частью общей структуры: скалярное произведение задает углы, ортогональность и длины, а они вместе формируют геометрию пространства.

Историческая линия формулы

У формулы длины вектора нет одного автора в школьном или университетском смысле. Она связана с теоремой Пифагора, координатной геометрией Декарта и Ферма, а также с развитием векторного анализа в XIX веке. Корректнее говорить, что современная запись нормы вектора оформилась внутри линейной алгебры и евклидовой геометрии.

Пример

Пусть вектор перемещения в трехмерном пространстве имеет координаты x = (3, 4, 12) метров. Длина равна корню из суммы квадратов координат: ||x|| = sqrt(3^2 + 4^2 + 12^2) = sqrt(9 + 16 + 144) = sqrt(169) = 13 метров. Геометрически это означает, что точка, в которую попал объект после перемещения, находится на расстоянии 13 метров от исходной точки. В двумерной части примера первые две координаты 3 и 4 уже дают прямоугольный треугольник длиной 5, но третья координата добавляет подъем на 12 метров, поэтому итоговая длина становится 13. Такой расчет удобен не только в геометрии: например, в анализе ошибок вектор (3, 4, 12) может описывать отклонения по трем независимым показателям, а норма дает один общий размер отклонения.

Частая ошибка

Частая ошибка - складывать координаты без квадратов и корня. Для вектора (3, 4, 12) сумма координат равна 19, но длина равна 13. Вторая ошибка - забывать про отрицательные координаты: вектор (-3, 4) имеет длину sqrt(9 + 16), а не 1. Третья ошибка - применять евклидову длину к смешанным величинам без нормировки, например складывать квадрат стоимости и квадрат времени. Еще одна ошибка - путать длину вектора с расстоянием между двумя точками: для расстояния сначала находят разности координат, а уже потом применяют ту же формулу нормы.

Практика

Задачи с решением

Длина трехмерного вектора

Условие. Найдите длину вектора x = (2, -6, 9).

Решение. Складываем квадраты координат: 2^2 + (-6)^2 + 9^2 = 4 + 36 + 81 = 121. Извлекаем корень: ||x|| = sqrt(121) = 11.

Ответ. 11

Проверка единичного вектора

Условие. Является ли вектор u = (0,6; 0,8) единичным?

Решение. Вычисляем длину: ||u|| = sqrt(0,6^2 + 0,8^2) = sqrt(0,36 + 0,64) = sqrt(1) = 1. Длина равна единице, значит вектор единичный.

Ответ. Да, это единичный вектор

Калькулятор

Посчитать по формуле

x1x2x3

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

MIT OpenCourseWare 18.06SC Linear Algebra, units on vectors and dot products
OpenStax Precalculus 9.5 Matrices and Matrix Operations
Jim Hefferon, Linear Algebra, chapter One: Vectors

Связанные формулы

Математика

Скалярное произведение векторов

$a\cdot b=\sum_{i=1}^{n}a_i b_i$

Скалярное произведение складывает попарные произведения координат двух векторов и дает число. Через него находят длину, угол между векторами, ортогональность и проекции.

Математика

Косинус угла между векторами

$\cos\varphi=\frac{a\cdot b}{\|a\|\,\|b\|}$

Косинус угла между двумя ненулевыми векторами равен скалярному произведению, деленному на произведение их длин. Формула переводит координаты в геометрический угол.

Математика

Матричное произведение

$(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{m}a_{ik}b_{kj}$

Матричное произведение строит элемент новой матрицы как скалярное произведение строки первой матрицы и столбца второй. Порядок множителей важен.