Математика / Матрицы, определители

Циклическое свойство следа матрицы

След произведения матриц не меняется при циклической перестановке множителей, если все произведения определены. Это свойство помогает упрощать доказательства, производные матричных функций и выражения с нормами.

Опубликовано: 12 мая 2026 г.Обновлено: 12 мая 2026 г.

Линейная алгебра След матрицы

Формула

\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA),\quad \operatorname{tr}(ABC)=\operatorname{tr}(BCA)=\operatorname{tr}(CAB)

cycle Циклический порядок множителей

Изобразить множители A, B, C по кругу и показать перенос начала чтения без изменения порядка.

След разрешает сдвигать начало произведения по кругу, но не перемешивать множители.

Обозначения

$A,B,C$: матрицы согласованных размеров, безразмерная
$\operatorname{tr}$: след квадратной матрицы, безразмерная

Условия применения

Итоговое произведение внутри следа должно быть квадратной матрицей.
Перестановка разрешена только циклическая, а не произвольная.
Размеры матриц должны позволять записать каждое произведение в формуле.

Ограничения

Нельзя в общем случае менять порядок множителей как угодно: tr(ABC) обычно не равен tr(ACB).
Свойство не означает, что AB=BA.
Для несогласованных размеров некоторые циклические записи могут быть неопределены.

Подробное объяснение

След матрицы - это сумма диагональных элементов, и при раскрытии tr(AB) получается двойная сумма a_ij b_ji. Если поменять порядок суммирования, получается ровно tr(BA). Для трех и более множителей работает та же идея, но только при циклическом переносе: первый множитель можно переместить в конец, сохранив круговой порядок. Это делает след удобным инструментом для преобразования скалярных матричных выражений. В задачах на нормы, квадратичные формы и метод наименьших квадратов циклическое свойство часто позволяет перейти от громоздкой записи к форме, где видна симметрия или производная. При работе с этой формулой важно сначала проверить размерности матриц и смысл операции. В линейной алгебре многие ошибки выглядят как верные алгебраические преобразования, но ломаются на уровне размеров: нельзя менять порядок множителей, если произведение после перестановки уже не определено, и нельзя считать обратную матрицу существующей без проверки невырожденности. В численных задачах дополнительно смотрят на обусловленность, потому что формально корректная запись может давать нестабильный ответ при округлении. Поэтому формулу полезно читать не только как способ вычисления, но и как способ увидеть структуру задачи: какие подпространства участвуют, где появляется проекция, где требуется ортогональность, а где достаточно рангового обновления.

Как пользоваться формулой

Проверьте, что произведение внутри следа определено и дает квадратную матрицу.
Переносите множители только циклически: ABC можно заменить на BCA или CAB.
Не меняйте порядок множителей произвольно, если нет дополнительных условий коммутативности.
Используйте свойство для упрощения скалярных выражений и матричных производных.

Историческая справка

Свойства следа вошли в стандартный язык матричной алгебры вместе с развитием инвариантов линейных преобразований. След оказался удобен тем, что не меняется при замене базиса и связывает матричную запись с суммой собственных значений. Циклическое свойство стало особенно востребовано в статистике и оптимизации. Современная запись этой формулы сложилась не сразу. Сначала похожие идеи появлялись в задачах решения систем линейных уравнений, теории квадратичных форм, аналитической механике и статистике, где матрицы использовали как компактный язык для больших наборов коэффициентов. В XX веке развитие численного анализа, вычислительной техники и прикладной статистики сделало такие тождества особенно важными: стало нужно не просто доказать существование решения, а уметь устойчиво считать его на реальных данных. Поэтому историческую атрибуцию здесь лучше понимать как цепочку вкладов: алгебраическая идея, удобная матричная запись, численный алгоритм и прикладная интерпретация часто были оформлены разными авторами и школами.

Историческая линия формулы

Это стандартное свойство следа, а не формула одного автора. Его исторические корни связаны с развитием матричной алгебры, инвариантов и линейных преобразований. Свойство является частью общей теории следа как инварианта линейного оператора. Его не связывают с одним автором; оно закрепилось вместе с матричной алгеброй и стало особенно полезным в статистике, оптимизации и теории квадратичных форм.

Пример

Пусть A имеет размер 2 на 3, а B - размер 3 на 2. Тогда AB имеет размер 2 на 2, BA - размер 3 на 3, но следы этих двух квадратных матриц равны. Это полезно, когда одно произведение меньше по размеру или проще для вычисления. В оптимизации выражение tr(X^TAX) часто циклически переставляют, чтобы выделить переменную X в удобном месте. Для "Циклическое свойство следа матрицы" удобно взять матрицы разных размеров: A размера 2 на 3 и B размера 3 на 2. Тогда AB и BA имеют разные размеры, но следы совпадают, что показывает истинный смысл свойства: оно относится к сумме диагональных вкладов, а не к равенству самих матриц. В более сложной записи с тремя множителями можно сдвигать начало чтения произведения по кругу, но нельзя произвольно переставлять соседние матрицы. Такая проверка защищает от самой частой ошибки при работе со следом.

Частая ошибка

Главная ошибка - считать след полностью коммутативным. Циклическая перестановка сохраняет порядок по кругу, но не разрешает менять местами соседние множители произвольно. Еще одна ошибка - забывать про размеры: даже если идея верна, конкретная запись может быть математически бессмысленной, если произведение матриц не определено.

Практика

Задачи с решением

Перестановка двух множителей

Условие. A имеет размер 2 на 5, B имеет размер 5 на 2. Можно ли утверждать tr(AB)=tr(BA)?

Решение. Да. AB и BA квадратные, их размеры различны, но следы произведений равны по свойству tr(AB)=tr(BA).

Ответ. Да, равенство верно.

Недопустимая перестановка

Условие. Верно ли в общем случае tr(ABC)=tr(ACB)?

Решение. Нет. Это не циклическая перестановка, а обмен B и C. Для произвольных матриц такое равенство не гарантировано.

Ответ. Нет, в общем случае неверно.

Дополнительные источники

Г. Стрэнг, Введение в линейную алгебру
Д. Лэй, Линейная алгебра и ее приложения
G. H. Golub, C. F. Van Loan, Matrix Computations
MIT OpenCourseWare, Linear Algebra

Связанные формулы

Математика

След матрицы

$\operatorname{tr}A=a_{11}+a_{22}+\dots+a_{nn}$

След квадратной матрицы равен сумме элементов главной диагонали. Он сохраняется при замене базиса и связан с собственными значениями.

Математика

Матричное произведение

$(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{m}a_{ik}b_{kj}$

Матричное произведение строит элемент новой матрицы как скалярное произведение строки первой матрицы и столбца второй. Порядок множителей важен.

Математика

Норма Фробениуса через след и сингулярные числа

$\|A\|_F^2=\operatorname{tr}(A^TA)=\sum_{i,j}a_{ij}^2=\sum_k\sigma_k^2$

Квадрат нормы Фробениуса равен следу матрицы A^T A, сумме квадратов всех элементов и сумме квадратов сингулярных чисел. Это удобная мера общего размера матрицы.