Математика

Геометрия

Площади, объемы, углы, окружности, треугольники и многогранники.

44 формулы

Формулы темы

Площадь круга

Площадь круга равна произведению числа pi на квадрат радиуса. Квадрат радиуса показывает, что при удвоении радиуса круглая область становится в четыре раза больше.

$S = \pi r^2$

Длина окружности

Длина окружности равна 2pi r или pi d. Она показывает периметр круглой границы, поэтому измеряется в обычных единицах длины, а не в квадратных.

$C = 2\pi r$

Объем прямоугольного параллелепипеда

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех измерений: длины, ширины и высоты, если все они выражены в одинаковых единицах длины.

$V=a\cdot b\cdot c$

Сумма смежных углов

Сумма смежных углов: смежные углы имеют общую сторону, а две другие стороны образуют прямую. В вычислениях это записывают как alpha + beta = 180 градусов, если обозначения выбраны как в формуле.

$\alpha + \beta = 180^\circ$

Вертикальные углы

Вертикальные углы: вертикальные углы возникают при пересечении двух прямых и лежат напротив друг друга. В вычислениях это записывают как alpha = beta, если обозначения выбраны как в формуле.

$\alpha = \beta$

Сумма углов треугольника

Сумма углов треугольника: три внутренних угла любого треугольника вместе образуют 180 градусов. В вычислениях это записывают как alpha + beta + gamma = 180 градусов, если обозначения выбраны как в формуле.

$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

Внешний угол треугольника

Внешний угол треугольника: внешний угол при вершине треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. В вычислениях это записывают как alpha внеш = beta + gamma, если обозначения выбраны как в формуле.

$\alpha_{\text{внеш}} = \beta + \gamma$

Периметр треугольника

Периметр треугольника: периметр треугольника равен длине всей его границы. В вычислениях это записывают как P = a + b + c, если обозначения выбраны как в формуле.

$P = a + b + c$

Периметр прямоугольника

Периметр прямоугольника: периметр прямоугольника складывается из двух длин и двух ширин. В вычислениях это записывают как P = 2(a + b), если обозначения выбраны как в формуле.

$P = 2(a + b)$

Площадь прямоугольника

Площадь прямоугольника: площадь прямоугольника равна числу единичных квадратов в прямоугольной сетке. В вычислениях это записывают как S = ab, если обозначения выбраны как в формуле.

$S = ab$

Углы при параллельных прямых и секущей

При параллельных прямых и секущей накрест лежащие и соответственные углы равны, а односторонние углы в сумме дают 180 градусов.

$a\parallel b\Rightarrow \alpha=\beta,\quad \gamma+\delta=180^\circ$

Признак параллельности прямых по углам

Если при пересечении двух прямых секущей равны накрест лежащие или соответственные углы, прямые параллельны; то же верно при сумме односторонних углов 180 градусов.

$\alpha=\beta\Rightarrow a\parallel b,\quad \gamma+\delta=180^\circ\Rightarrow a\parallel b$

Неравенство треугольника

В любом треугольнике сумма длин двух сторон больше длины третьей стороны. Это условие проверяет, можно ли построить треугольник по трем отрезкам.

$a+b>c,\quad a+c>b,\quad b+c>a$

Сумма острых углов прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике два острых угла в сумме дают 90 градусов, потому что третий угол уже равен 90 градусам. Она уточняет, какие величины входят в запись \alpha+\beta=90^\circ и какой результат получают после подстановки.

$\alpha+\beta=90^\circ$

Периметр равнобедренного треугольника

Периметр равнобедренного треугольника равен удвоенной боковой стороне плюс основание. Формула использует равенство двух боковых сторон. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей.

$P=2a+b$

Угол между биссектрисами смежных углов

Биссектрисы двух смежных углов взаимно перпендикулярны. Их угол равен 90 градусам, потому что смежные углы в сумме дают 180 градусов. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей.

$\frac{\alpha}{2}+\frac{180^\circ-\alpha}{2}=90^\circ$

Первый признак равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников утверждает: если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого, треугольники равны.

$AB=A_1B_1,\ AC=A_1C_1,\ \angle A=\angle A_1\Rightarrow \triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1$

Второй признак равенства треугольников

Второй признак равенства треугольников использует сторону и два прилежащих к ней угла. Такой набор однозначно задает треугольник. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей.

$AB=A_1B_1,\ \angle A=\angle A_1,\ \angle B=\angle B_1\Rightarrow \triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1$

Третий признак равенства треугольников

Третий признак равенства треугольников утверждает: если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого, треугольники равны. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей.

$AB=A_1B_1,\ BC=B_1C_1,\ AC=A_1C_1\Rightarrow \triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1$

Биссектриса угла и половина градусной меры

Биссектриса делит угол на два равных угла. Если весь угол равен alpha, каждый из получившихся углов равен alpha/2. Она помогает не подменять геометрическое условие видом чертежа и сразу проверять допустимость углов или длин.

$\beta=\frac{\alpha}{2}$

Угол равностороннего треугольника

В равностороннем треугольнике все стороны равны, поэтому все внутренние углы равны и каждый из них составляет 60 градусов. Она помогает не подменять геометрическое условие видом чертежа и сразу проверять допустимость углов или длин.

$\alpha=60^\circ$

Периметр равностороннего треугольника

Периметр равностороннего треугольника равен утроенной стороне, потому что все три его стороны имеют одну и ту же длину. Она помогает не подменять геометрическое условие видом чертежа и сразу проверять допустимость углов или длин.

$P=3a$

Третий угол треугольника

Если известны два угла треугольника, третий находят вычитанием их суммы из 180 градусов. Формула следует из теоремы о сумме углов треугольника. Она помогает не подменять.

$\gamma=180^\circ-\alpha-\beta$

Периметр многоугольника через стороны

Периметр многоугольника равен сумме длин всех его сторон, взятых в одном порядке обхода фигуры. Она фиксирует, какую геометрическую величину надо считать и какие данные складывать или усреднять.

$P=a_1+a_2+\dots+a_n$

Расстояние между двумя точками на плоскости

Расстояние между двумя точками на координатной плоскости находится по теореме Пифагора через разности их координат и всегда является неотрицательной длиной.

$AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

Координаты середины отрезка

Координаты середины отрезка равны средним арифметическим соответствующих координат его концов на координатной плоскости.

$M\left(\frac{x_1+x_2}{2};\frac{y_1+y_2}{2}\right)$

Теорема Пифагора

Теорема Пифагора позволяет найти сторону прямоугольного треугольника: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух катетов.

$c^2 = a^2 + b^2$

Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма находят как произведение стороны, выбранной основанием, на перпендикулярную высоту к этой стороне.

$S = ah$

Площадь трапеции

Площадь трапеции равна полусумме ее оснований, умноженной на высоту, проведенную между параллельными сторонами. При подстановке важно выбрать именно те величины, которые соответствуют обозначениям в формуле.

$S = \frac{a + b}{2}h$

Площадь ромба через диагонали

Площадь ромба можно найти по диагоналям: половина произведения диагоналей дает площадь всей фигуры. При подстановке важно выбрать именно те величины, которые соответствуют обозначениям в формуле.

$S = \frac{d_1d_2}{2}$

Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна половине ее длины. При подстановке важно выбрать именно те величины, которые соответствуют обозначениям в формуле.

$m = \frac{a}{2}$

Масштаб чертежа

Масштаб показывает отношение длины на чертеже к соответствующей реальной длине. Он позволяет уменьшать или увеличивать изображение без изменения формы объекта.

$M=\frac{l_{\text{чертеж}}}{l_{\text{натура}}}$

Теорема Фалеса

Теорема Фалеса утверждает, что параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на этих сторонах пропорциональные отрезки.

$\frac{AB}{BC}=\frac{A_1B_1}{B_1C_1}$

Подобие треугольников по двум углам

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны, а их стороны пропорциональны.

$\angle A=\angle A_1,\;\angle B=\angle B_1\Rightarrow \triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1$