Все формулы РФ

Математика / Геометрия

Длина окружности

Длина окружности равна 2pi r или pi d. Она показывает периметр круглой границы, поэтому измеряется в обычных единицах длины, а не в квадратных.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаОГЭЕГЭКалькуляторГеометрияЕсть историческая справка

Формула

$$C = 2\pi r$$

Обозначения

$C$
длина окружности, единицы длины
$r$
радиус окружности, единицы длины
$\pi$
число пи

Подробное объяснение

Длина окружности — это периметр круглой линии. Если мысленно разрезать окружность и выпрямить ее без растяжения, полученная длина будет равна C. В отличие от площади круга, здесь измеряется только граница, а не внутренняя область.

Отношение длины окружности к диаметру одинаково для всех кругов и равно pi. Поэтому C/d=pi, откуда сразу получается C=pi d. Так как диаметр d=2r, та же зависимость записывается как C=2pi r.

Формула линейна по радиусу: если радиус увеличили в 3 раза, длина окружности тоже увеличится в 3 раза. Это отличает ее от площади круга, где зависимость квадратичная. Такое различие полезно при сравнении колес, труб, круглых дорожек и ободов.

В задачах нужно внимательно читать, дана окружность или круг. Окружность — линия, круг — область внутри нее. Для длины проволоки вокруг круглой рамки нужна C, а для покраски круглой поверхности нужна S=pi r^2.

Если известна длина окружности и нужно найти радиус, формулу обращают: r=C/(2pi). Если известен диаметр, радиус предварительно не обязателен, потому что C=pi d уже содержит нужную связь.

Как пользоваться формулой

  1. Определите, что дано в задаче: радиус или диаметр.
  2. Если дан радиус, используйте C = 2πr.
  3. Если дан диаметр, можно использовать C = πd.
  4. Проверьте, что ответ записан в единицах длины, а не площади.

Историческая справка

Постоянство отношения окружности к диаметру замечали в древних практических измерениях. Вавилонские и египетские приближения числа pi возникали из задач о колесах, сосудах, полях и круглых сооружениях. Эти приближения были численными, но сама идея универсального отношения уже присутствовала.

Архимед в III веке до н. э. дал знаменитую оценку pi через периметры вписанных и описанных многоугольников. Он не пользовался современной десятичной записью, но его метод строго зажал длину окружности между многоугольными периметрами и показал, как получать все более точные оценки.

Позднее развитие тригонометрии, анализа и десятичных вычислений уточняло значения pi, а школьная формула C=2pi r стала стандартной короткой записью этой древней геометрической связи.

Историческая линия формулы

Формула длины окружности не имеет одного автора: она выросла из древних измерений и строгой греческой геометрии. Архимед особенно важен для оценки pi через многоугольники, но современная запись C=2pi r появилась позже вместе с символикой радиуса, диаметра и числа pi.

Архимед ок. 287-212 до н. э.

Пример

Задача. Нужно подобрать декоративную ленту по краю круглой столешницы диаметром 80 см. Найти длину окружности с запасом без учета нахлеста. Дано: d=80 см. Используем форму C=pi d, потому что известен диаметр. Подстановка: C=pi·80=80pi см. При pi≈3,14 получаем C≈251,2 см. Ответ: нужно около 251,2 см ленты, точное выражение 80pi см. Проверка: ответ записан в сантиметрах, потому что длина окружности — линейная величина. Радиус был бы 40 см, и по формуле 2pi r получилось бы 2pi·40=80pi см, тот же результат.

Частая ошибка

Часто смешивают длину окружности и площадь круга: C измеряется в см или м, а S — в см^2 или м^2. Вторая ошибка — подставить диаметр в формулу 2pi r, не разделив его на 2; тогда ответ удваивается. Еще одна ловушка — округлять pi в середине задачи с несколькими действиями. Если нужна точность, держите выражение с pi до последнего шага. В практических задачах стоит учитывать запас материала отдельно, а не включать его в саму формулу окружности.

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

  • Атанасян Л.С. и др. Геометрия. 7-9 классы, раздел «Длина окружности и площадь круга»
  • ФИПИ: кодификатор ОГЭ по математике, окружность и круг
  • ФИПИ: кодификатор ЕГЭ по математике, планиметрия
  • Архимед. Измерение круга

Связанные формулы

Математика

Площадь круга

$S = \pi r^2$

Площадь круга равна произведению числа pi на квадрат радиуса. Квадрат радиуса показывает, что при удвоении радиуса круглая область становится в четыре раза больше.

Математика

Перевод градусов в радианы

$\alpha_{rad}=\alpha_{deg}\cdot\frac{\pi}{180}$

Чтобы перевести градусы в радианы, градусную меру умножают на π и делят на 180, потому что 180° соответствуют π радианам.

Математика

Радианная мера угла через длину дуги

$\alpha=\frac{l}{R}$

Радианная мера угла равна отношению длины соответствующей дуги окружности к радиусу этой окружности и задает естественный числовой аргумент тригонометрических функций.