Математика / Пределы, ряды

Касательная плоскость к графику z=f(x,y)

Касательная плоскость к графику z=f(x,y) дает линейное приближение поверхности около точки через значения частных производных.

Опубликовано: 13 мая 2026 г.Обновлено: 13 мая 2026 г.

Формула

$$z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)$$

Схема Плоскость у поверхности

Касательная плоскость проходит через точку графика и имеет те же первые наклоны по координатным направлениям.

Обозначения

$z$: значение поверхности, число
$f(a,b)$: уровень в точке, число
$f_x(a,b),f_y(a,b)$: наклоны, число

Условия применения

Точка в области определения
Функция дифференцируема в этой точке
Ориентир для локальных x,y

Ограничения

Не заменяет точную поверхность на больших расстояниях
На недифференцируемых точках не существует
Требуется корректная подстановка в x,y

Подробное объяснение

Касательная плоскость является геометрической формой полного дифференциала. Если поверхность гладкая около точки, то малый участок поверхности почти совпадает с плоскостью, проходящей через точку графика. Коэффициенты при x-a и y-b равны частным производным, потому что они задают наклоны сечений поверхности в координатных направлениях.

Эта формула полезна не только для чертежей. Она позволяет быстро оценивать значение сложной функции рядом с известной точкой. В численных методах и прикладных расчетах локальная линейная модель часто служит первым приближением, а в оптимизации помогает понять поведение функции около стационарной точки. Важно помнить, что плоскость касается поверхности локально: она описывает ближайшее поведение, но не обязана быть хорошей моделью далеко от точки.

Как пользоваться формулой

Найдите значение функции z0=f(a,b) в точке касания.
Вычислите частные производные f_x и f_y.
Подставьте значения частных производных в формулу плоскости.
Используйте выражения x-a и y-b, а не сами координаты x и y.

Историческая справка

Идея касательной прямой к кривой возникла в классическом дифференциальном исчислении. Для поверхностей естественным аналогом стала касательная плоскость. Геометрические задачи XVIII-XIX веков, включая исследование поверхностей, кривизны и механических моделей, требовали записывать локальные приближения уже не линией, а плоскостью.

С развитием анализа нескольких переменных эта идея получила строгую формулировку через дифференцируемость. Если функция имеет хороший линейный дифференциал, график рядом с точкой можно приближать плоскостью. Поэтому касательная плоскость стала мостом между формальными производными и наглядной геометрией поверхности.

Историческая линия формулы

Касательная плоскость не является формулой одного автора. Она относится к общей линии дифференциальной геометрии и анализа нескольких переменных, где локальное поведение гладкой поверхности описывается линейным приближением.

Пример

Пример 1. Для f(x,y)=x^2+y^2 в точке (1,2) имеем z0=5, f_x=2, f_y=4. Касательная плоскость: z=5+2(x-1)+4(y-2). Например, при x=1,01 и y=1,98 приближение дает z≈5+0,02-0,08=4,94. Пример 2. Точное значение в той же точке равно 1,01^2+1,98^2=1,0201+3,9204=4,9405. Разница мала, потому что точка близка к исходной. Контроль: чем дальше от точки касания, тем сильнее могут проявляться квадратичные и более высокие поправки, поэтому касательная плоскость не заменяет поверхность глобально.

Частая ошибка

Распространенная ошибка - подставлять в формулу плоскости x и y вместо приращений x-a и y-b. Еще одна ошибка - забывать свободный член z0=f(a,b). Также нельзя строить касательную плоскость по одним частным производным без понимания дифференцируемости: при негладких поверхностях частные производные могут не давать корректной плоскости.

Практика

Задачи с решением

Составить плоскость

Условие. f=x^2+y^2, (1,1)

Решение. f_x=2, f_y=2, f(1,1)=2 => z=2+2(x-1)+2(y-1)

Ответ. z=2x+2y-2

Плоскость для линейной функции

Условие. f=3x-4y+5

Решение. Она же сама

Ответ. z=3x-4y+5

Дополнительные источники

Apostol, Calculus, Volume II: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications to Differential Equations and Probability
Marsden, Tromba, Vector Calculus

Связанные формулы

Математика

Полный дифференциал функции двух переменных

$df(a,b)=f_x(a,b)\,dx+f_y(a,b)\,dy$

Полный дифференциал задает линейную главную часть изменения функции при малых одновременных изменениях x и y.

Математика

Градиент функции двух переменных

$\nabla f(a,b)=(f_x(a,b), f_y(a,b))$

Градиент собирает частные производные в вектор и показывает направление наибольшего локального роста функции двух переменных.

Математика

Направленная производная через градиент

$D_{\mathbf u}f(a,b)=\nabla f(a,b)\cdot\mathbf u=f_x(a,b)u_1+f_y(a,b)u_2,\quad \|\mathbf u\|=1$

Направленная производная измеряет скорость изменения функции в выбранном направлении и выражается через скалярное произведение градиента на единичный вектор.

Математика

Касательная к графику функции

$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$

Уравнение касательной строится по точке касания и производной в этой точке. Это первая локальная модель функции и основной мост к линейным приближениям.