Математика / Пределы, ряды

Повторный интеграл

Повторный интеграл записывает двойной интеграл как два обычных интегрирования по подходящим пределам. Страница показывает не только запись формулы, но и смысл области интегрирования, элемента меры и типичных ограничений метода.

Опубликовано: 13 мая 2026 г.Обновлено: 13 мая 2026 г.

Формула

\iint_D f(x,y)\,dA=\int_a^b\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(x,y)\,dy\,dx=\int_c^d\int_{\gamma(y)}^{\delta(y)} f(x,y)\,dx\,dy

Схема Визуальная схема: Повторный интеграл

Покажите сечения области вертикальными полосами, сечения области горизонтальными полосами, одна и та же область при двух порядках интегрирования. Такой рисунок помогает увидеть, что интеграл суммирует малые элементы области или объема, а не работает только как формальная запись.

Обозначения

$a,b,c,d$: границы внешнего интеграла, число
$\alpha(x),\beta(x)$: границы по y при фиксированном x, число
$\gamma(y),\delta(y)$: границы по x при фиксированном y, число

Когда применять

Он нужен, когда область можно описать через простые границы по x или по y и когда важно вычислить интеграл вручную. Повторная запись удобна для вычисления двойных интегралов вручную, для смены порядка интегрирования и для задач, где область естественно режется на сечения. Ее применяют в геометрии площадей, массе пластинок, вероятностях и инженерных расчетах распределенных нагрузок. Перед применением нужно решить, какие сечения дают более простые пределы: иногда интеграл по y затем по x короче, а иногда наоборот.

Условия применения

Область должна быть описана как простая по x или простая по y, либо быть разбита на такие части.
Функция должна быть интегрируема на области.
При смене порядка интегрирования новые пределы надо выводить заново, а не угадывать.

Ограничения

Не всякая область удобно записывается одним повторным интегралом.
Смена порядка интегрирования может потребовать разбиения области на несколько кусков.
Если пределы зависят от неверно выбранной переменной, ответ становится ошибочным.

Подробное объяснение

Повторный интеграл удобен потому, что многомерная задача сводится к последовательности одномерных шагов. Главное здесь не символическая запись, а правильное описание области: сначала выбирается внешний параметр, затем для него задается внутренний диапазон.

Повторный интеграл превращает двумерную задачу в последовательность одномерных интегрирований. Внутренний интеграл считает вклад вдоль вертикального или горизонтального сечения области, а внешний суммирует эти сечения по оставшейся переменной. Для прямоугольника пределы обычно постоянные, а для криволинейной области один или оба предела становятся функциями. Смысл формулы не в механической перестановке dx и dy, а в правильном описании всех точек области ровно один раз.

Практический алгоритм применения: Сначала нарисуйте область и решите, по какой переменной удобнее идти первой. Запишите внутренние пределы как функции внешней переменной. Если форма области меняется, разделите ее на части и сложите результаты. После вычисления проверьте ответ на размерность и на симметрию. Практический порядок один и тот же: сначала нарисовать или описать область, затем выбрать координаты, после этого записать элемент площади или объема, проверить пределы и только потом считать интеграл. Если результат имеет физический смысл, в конце нужно проверить единицы измерения и знак.

Как пользоваться формулой

Нарисовать или описать область интегрирования и отметить все границы.
Выбрать порядок интегрирования или координаты, в которых область и функция становятся проще.
Записать элемент площади или объема вместе с нужным множителем Якобиана.
Вычислить интеграл и проверить единицы измерения, знак и геометрический смысл результата.

Историческая справка

Повторные интегралы связаны с теоремами Фубини и Тонелли, которые сделали законным переход от многомерного интеграла к последовательным одномерным интегралам. В учебной традиции это стало рабочим языком для вычислений в анализе и геометрии.

Кратные интегралы выросли из развития анализа XVIII-XIX веков, когда геометрические задачи о площадях, объемах и центрах тяжести стали записывать через пределы сумм. Современная форма опирается на строгую теорию интеграла, замену переменных и условия, при которых повторные интегралы действительно описывают одну и ту же область.

Историческая линия формулы

Здесь уместно говорить не об одном имени, а о линии развития: Риманова интеграция, а затем результаты Фубини и Тонелли о перестановке и разложении интегрирования. Историческая связь здесь не сводится к одному автору: в развитии темы участвовали Эйлер, Лагранж, Коши, Якоби, Фубини и другие математики. На странице указывается именно линия развития метода, а не искусственное единоличное авторство конкретной учебной формулы.

Пример

Для области 0\le x\le1, 0\le y\le x повторный интеграл \int_0^1\int_0^x f(x,y)\,dy\,dx считает вклад по вертикальным отрезкам. Если область описывается проще горизонтальными отрезками, порядок можно поменять на \int\int\,dx\,dy и тем самым упростить вычисление. Для области 0<=x<=1, 0<=y<=x интеграл от 1 по области равен int_0^1 int_0^x 1 dy dx = int_0^1 x dx = 1/2. Это площадь треугольника. Если поменять порядок, нужно описать те же точки иначе: 0<=y<=1, y<=x<=1. Тогда int_0^1 int_y^1 1 dx dy тоже дает 1/2. Равенство результатов держится только потому, что область описана без пропусков и повторов.

Частая ошибка

Путают порядок dx dy и dy dx и ставят неправильные пределы. Не делят область на части, когда одна запись уже не работает. Считают, что повторный интеграл всегда проще, хотя иногда полезнее сначала перейти к полярным координатам. Нельзя менять порядок интегрирования, просто переставив значки dx и dy и оставив прежние пределы. Нельзя использовать верхний предел x для внешнего интеграла по x: внешний предел должен быть числовым или заданным другой внешней переменной. Также часто забывают разбить область на две части, если одна формула границы не описывает все сечения.

Практика

Задачи с решением

Треугольная область

Условие. \int_0^1\int_0^x (x+y)\,dy\,dx

Решение. Внутренний интеграл равен x^2+x^2/2=3x^2/2, затем \int_0^1 3x^2/2\,dx=1/2.

Ответ. 1/2

Смена порядка

Условие. \int_0^1\int_0^{1-x} 1\,dy\,dx

Решение. Это площадь треугольника 0\le x\le1, 0\le y\le1-x, поэтому ответ равен 1/2.

Ответ. 1/2

Дополнительные источники

Apostol, Calculus, Volume II: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications to Differential Equations and Probability
Stewart, Calculus: Early Transcendentals
Marsden, Tromba, Vector Calculus

Связанные формулы

Математика

Двойной интеграл по области

$\iint_D f(x,y)\,dA=\lim_{\max\Delta A_i\to0}\sum_i f(\xi_i,\eta_i)\,\Delta A_i$

Двойной интеграл складывает значения функции по плоской области и дает общий вклад распределенной величины. Страница показывает не только запись формулы, но и смысл области интегрирования, элемента меры и типичных ограничений метода.

Математика

Подстановка в определенном интеграле

$\int_a^b f(g(x))g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du,\quad u=g(x)$

Подстановка меняет переменную в определенном интеграле и меняет также пределы интегрирования на соответствующие значения новой переменной.

Математика

Свойства определенного интеграла

$\int_a^b f(x)dx = -\int_b^a f(x)dx, \quad \int_a^a f(x)dx=0, \quad \int_a^b (f\pm g)dx=\int_a^b fdx \pm \int_a^b gdx$

Набор базовых алгебраических свойств определенного интеграла: линейность, смена знаков пределов, нулевой интеграл на пустом отрезке.