Математика / Пределы, ряды

Подстановка в определенном интеграле

Подстановка меняет переменную в определенном интеграле и меняет также пределы интегрирования на соответствующие значения новой переменной.

Опубликовано: 13 мая 2026 г.Обновлено: 13 мая 2026 г.

Формула

\int_a^b f(g(x))g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du,\quad u=g(x)

Обозначения

$u=g(x)$: новая переменная, зависит от g
$g'(x)dx$: дифференциал замены, согласован с u
$a,b$: старые пределы, числа

Условия применения

g(x) дифференцируема на [a,b].
g(a), g(b) корректно определены.
Функция f определена на образе [g(a),g(b)].

Ограничения

Нельзя менять пределы автоматически при интегрировании по dx в нестрого указанной форме.
Если g монотонность меняется, требуется контроль знака и ориентированности.

Подробное объяснение

Подстановка — это обратимое преобразование переменной в дифференциальной записи. Через u=g(x) дифференциал заменяется: du=g'(x)dx, а затем корректно изменяются пределы интегрирования.

Метод подстановки в определенном интеграле является интегральной версией правила цепочки. Если u=\varphi(x), то du=\varphi'(x)dx, а пределы a и b переходят в \varphi(a) и \varphi(b). Это особенно удобно, когда подынтегральная функция имеет вид g(\varphi(x))\varphi'(x). Тогда сложная зависимость сворачивается в простой интеграл по u. Главное отличие от неопределенного интеграла состоит в работе с границами. Правильная смена пределов делает ответ сразу числом и избавляет от лишней обратной замены. Условия применимости требуют аккуратности: замена должна быть достаточно гладкой на рассматриваемом промежутке, а при не взаимно однозначных заменах важно понимать, как покрывается область интегрирования.

Дополнительный смысл этой записи в том, что определенный интеграл всегда связан с промежутком, а не только с формальной операцией над функцией. Поэтому в решении нужно явно держать вместе три вещи: подынтегральную функцию, границы и интерпретацию результата. Без этой связки одна и та же алгебраическая запись может означать площадь, накопление, среднее значение или ориентированный вклад со знаком.

Как пользоваться формулой

Задайте u=g(x), найдите du.
Переопределите пределы в переменную u.
Перепишите интеграл в новой переменной.
Выполните вычисление и упрощайте.

Историческая справка

Метод подстановки исторически связан с инвариантностью интегральной суммы при изменении параметризации оси и формализован в учебной теории как замена переменной.

Подстановка выросла из связи интегрирования с дифференцированием сложной функции. В символике Лейбница запись du=\varphi'(x)dx делает метод особенно наглядным, хотя строгая теория требует говорить о производных и преобразовании пределов. В определенных интегралах эта техника стала одним из главных способов вычисления и доказательства формул, потому что она позволяет переносить интеграл с одного масштаба или координаты на другой.

В учебной традиции эта тема закрепилась потому, что она соединяет наглядную геометрию площади с вычислительной техникой первообразных. Поздняя строгая формализация не отменила старую интуицию, а уточнила условия, при которых наглядные рассуждения действительно дают корректную формулу. Поэтому исторический блок здесь нужен не как украшение, а как способ объяснить происхождение ограничений.

Историческая линия формулы

Каноническая техника классического интегрального исчисления. Метод связан с лейбницевой символикой и общей техникой анализа, но не должен приписываться одному человеку как отдельная формула. Его смысл опирается на правило цепочки и основную теорему анализа.

Готфрид Вильгельм Лейбниц 1646-1716

Пример

∫_0^1 2x e^{x^2}dx: u=x^2, du=2x dx, u:0→1, результат e-1. Пример. Найдем \int_0^1 2x\cos(x^2)dx. Берем u=x^2, тогда du=2x dx. При x=0 получаем u=0, при x=1 получаем u=1. Интеграл превращается в \int_0^1 \cos u\,du=\sin 1-\sin 0=\sin 1. Возвращаться к x не нужно, потому что пределы уже переведены в новую переменную. Контроль результата: сначала оцените знак и порядок величины без вычислений. Если функция на выбранном отрезке положительна, интеграл не должен стать отрицательным; если речь идет о среднем значении, умножение ответа на длину отрезка должно вернуть исходный интеграл. Такая короткая проверка помогает поймать ошибку в пределах, знаке или выборе первообразной.

Частая ошибка

Смешение x и u в пределах интеграла после подстановки без замены пределов. Частые ошибки: заменить выражение внутри интеграла, но оставить старые пределы; смешать x и u в одной записи; забыть множитель du; после изменения пределов еще раз возвращаться к старой переменной и подставлять старые границы. В определенном интеграле выбирают один путь: либо меняют пределы, либо возвращаются к исходной переменной перед подстановкой.

Практика

Задачи с решением

Подстановка с квадратичной функцией

Условие. Вычислить ∫_0^1 2x e^{x^2}dx.

Решение. u=x^2, du=2x dx, интеграл =∫_0^1 e^u du=e-1.

Ответ. e-1

Смещение аргумента

Условие. Вычислить ∫_1^2 2(x+1)e^{(x+1)^2}dx.

Решение. u=(x+1)^2, du=2(x+1)dx, u:4в†’9, в€«_4^9 e^u du=e^9-e^4.

Ответ. e^9-e^4

Дополнительные источники

Anton, Calculus
Paul's Notes, Integration by Substitution
MSE notes: definite substitution examples

Связанные формулы

Математика

Метод подстановки в интегрировании

$\int f(g(x))g'(x)\,dx = \int f(u)\,du, \quad u=g(x)$

Подстановка (или метод замены переменной) переносит интеграл к более удобной переменной. Идея: если подынтегральное выражение содержит композицию f(g(x)) и рядом стоит производная g'(x), делаем замену u=g(x), тогда dx заменяется через du. Это переводит задачу в более простую форму.

Математика

Обозначение неопределённого интеграла

$\int f(x) \,dx = F(x)+C$

Неопределённый интеграл — это запись класса всех первообразных функции f(x). В отличие от определённого интеграла, здесь не стоит предел интегрирования, и результат всегда даёт семейство функций, отличающихся константой. Запись $\int f(x)dx$ является краткой формой для «все функции F, у которых производная равна f». Такая форма сохраняет единый смысл в вычислениях и упрощает использование правил интегрирования.

Математика

Линейность неопределенного интеграла

$\int (\alpha f(x)+\beta g(x))\,dx = \alpha\int f(x)\,dx + \beta\int g(x)\,dx$

Линейность позволяет переносить константы и разносить сумму под интегральным знаком. Это одно из базовых правил вычисления неопределенных интегралов, напрямую вытекающее из линейности производной в обратную сторону. Если интеграл от суммы разложить на сумму интегралов, заметно упрощается вычисление и сводятся сложные выражения к базовым формам.