Математика / Пределы, ряды

Дивергенция векторного поля

Дивергенция измеряет локальную плотность источников и стоков поля: насколько в этой точке поле «вытекает» или «втягивается» из окрестности. Она служит точной связкой между локальной производной поля и глобальным потоком через границу.

Опубликовано: 13 мая 2026 г.Обновлено: 13 мая 2026 г.

Формула

\nabla\cdot\mathbf F=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}

Обозначения

$\mathbf F=(P,Q,R)$: векторное поле, векторная
$\nabla\cdot\mathbf F$: дивергенция, 1/м
$x,y,z$: координаты, м

Условия применения

Функции P,Q,R должны иметь частные производные в рассматриваемой области.
Для применения теоремы Гаусса нужна достаточно регулярная область и корректная ориентированная граница.
Если область разбита на части, формулу применяют к каждой и суммируют.

Ограничения

Наличие разрывов в поле требует раздельного рассмотрения, иначе теорема может быть неприменима в классическом виде.
Не стоит трактовать дивергенцию как векторную величину: это скаляр.
Слишком грубое геометрическое толкование может скрыть размерность и дать неверный знак.

Подробное объяснение

Дивергенция — это оператор, который локально агрегирует производные компонентов поля и дает «скорость образования» величины в точке. В сочетании с теоремой Гаусса она превращается в связку между локальным объемным источником и суммарным потоком через замкнутую поверхность.

Как пользоваться формулой

Выпишите компоненты поля и вычислите их частные производные по соответствующим координатам.
Сложите три производные по формуле из определения.
Перед применением теоремы проверьте гладкость области и корректность ориентации границы.
После вычисления проверьте размерность и интуитивный знак (источник — поток из области).

Историческая справка

Операторы дивергенции и ротора появились как часть становления векторного анализа в XIX веке, когда появилась нужда описывать поля не только точечно, но и через их локальные источники. Теория получила широкое инженерное применение в XIX–XX веках с развитием электродинамики и гидродинамики.

Историческая линия формулы

Текущая форма относится к общей линии развития векторного анализа и дифференциальных операторов. Важно не превращать её в «формулу одного великого имени»: это результат исторически долгой кодификации обозначений и интерпретаций в математической и физической школе.

Пример

Для поля F=(x,y,z) внутри шара радиуса R дивергенция постоянна и равна 3. Поэтому объемный расчет легко дает итоговый поток, не интегрируя по сфере напрямую. Такой переход особенно полезен в задачах, где граница сложная, а divergence проще.

Частая ошибка

Типичная ошибка — ставить формулу дивергенции в 2D без адаптации или путать компоненты. Второе — применять ее к функциям с разрывом, не рассматривая кусочность области. Еще частая ошибка — терять знак из-за неверной ориентации нормали при проверке теоремой. Также часто забывают, что это скалярная функция: если нужно направление поля, дивергенция не даст вектора.

Практика

Задачи с решением

Проверка в точке

Условие. \mathbf F=(x^2, y^2, z^2)

Решение. \nabla\cdot\mathbf F=2x+2y+2z. В точке (1,2,3): 2\cdot1+2\cdot2+2\cdot3=12.

Ответ. 12

Дивергенция и поток для шара

Условие. \mathbf F=(x,y,z),\; B_R\;(\|\mathbf r\|\le R)

Решение. \nabla\cdot\mathbf F=3. Тогда \iiint_{B_R}3\,dV=3\cdot\frac43\pi R^3=4\pi R^3, что равно потоку через сферу.

Ответ. 4\pi R^3

Дополнительные источники

Apostol, Calculus, Volume II: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications to Differential Equations and Probability
Marsden, Tromba, Vector Calculus

Связанные формулы

Математика

Теорема Гаусса-Остроградского

$\iiint_V (\nabla\cdot\mathbf F)\,dV=\iint_{\partial V}\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS$

Теорема Гаусса-Остроградского переводит объемный интеграл дивергенции в поток через границу замкнутой области. Это ключевая связь локальных источников и глобального выхода поля.

Математика

Теорема Стокса

$\iint_S (\nabla\times\mathbf F)\cdot \mathbf n\,dS=\oint_{\partial S}\mathbf F\cdot d\mathbf r$

Теорема Стокса связывает поток ротора через поверхность с интегралом 2 рода по ее ориентированному краю. Она обобщает идею Грина на трехмерные поверхности и связывает локальную завихренность с граничной циркуляцией.

Математика

Поток векторного поля через поверхность

$\Phi=\iint_S \mathbf F\cdot \mathbf n\,dS=\iint_S (P n_1+Q n_2+R n_3)\,dS$

Поток показывает, какая часть поля проходит через поверхность со стороны нормали. Это ориентированная величина: положительный вклад дает выход или вход в зависимости от принятой ориентации поверхности.