Математика / Пределы, ряды

Якобиан для смены переменных

Якобиан показывает локальный коэффициент изменения площади или объема при замене переменных и входит в формулу кратных интегралов.

Опубликовано: 13 мая 2026 г.Обновлено: 13 мая 2026 г.

Формула

J=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix}x_u & x_v\\ y_u & y_v\end{vmatrix},\quad dA_{xy}=|J|dA_{uv}

Схема Растяжение малого элемента

Якобиан показывает, как маленькая ячейка в новых координатах превращается в элемент площади в старых координатах.

Обозначения

$x_u,x_v,y_u,y_v$: производные параметризации, число
$J$: якобиан, безразмерный
$dA$: элемент площади, площадь

Условия применения

Преобразование должно быть дифференцируемым
Нужна локальная обратимость (J != 0)
Для площадей берется модуль |J|

Ограничения

Если J=0, обратимость не гарантирована
Без контроля области значений может быть потеря знака ориентации
Нужны корректные новые границы

Подробное объяснение

При замене переменных маленький прямоугольник в новых координатах обычно превращается в маленький параллелограмм или криволинейный элемент в старых координатах. Якобиан измеряет, во сколько раз меняется площадь этого малого элемента в первом приближении. Поэтому в двойном интеграле появляется множитель |J|, а в тройном интеграле - аналогичный объемный множитель.

Формула важна тем, что она переносит не только координаты точек, но и меру области. Если заменить x и y на новые параметры, но не изменить элемент площади, интеграл будет считать не ту величину. В полярных координатах один и тот же прирост угла дает дугу тем длиннее, чем больше радиус, поэтому появляется множитель r. В более сложных заменах тот же смысл кодируется определителем матрицы частных производных.

Как пользоваться формулой

Запишите старые переменные как функции новых переменных.
Составьте матрицу частных производных этих функций по новым переменным.
Найдите определитель матрицы и возьмите его модуль для элемента площади или объема.
Замените область интегрирования и элемент dx dy или dx dy dz с учетом найденного множителя.

Историческая справка

Определители и преобразования координат развивались в тесной связи с аналитической геометрией, механикой и интегральным исчислением. Когда кратные интегралы стали стандартным инструментом, потребовалось строго понимать, как меняются элементы площади и объема при переходе к новым координатам. Так возникла центральная роль определителя матрицы производных.

Название связано с Карлом Густавом Якоби, чьи работы XIX века важны для теории определителей, преобразований и дифференциальных уравнений. В современном курсе Якобиан стал универсальным словом для матрицы первых производных и ее определителя в задачах замены переменных.

Пример

Пример 1. Для полярной замены x=r cos phi, y=r sin phi матрица производных имеет строки (cos phi, -r sin phi) и (sin phi, r cos phi). Ее определитель равен r(cos^2 phi+sin^2 phi)=r. Поэтому dx dy заменяется на r dr dphi. Пример 2. Если область - круг радиуса R, интеграл площади записывается как integral_0^{2pi} integral_0^R r dr dphi = pi R^2. Контроль: множитель r нельзя забывать. Без него площадь круга получилась бы 2pi R, что по размерности и смыслу соответствует длине, а не площади.

Частая ошибка

Самая частая ошибка - забывать модуль определителя Якобиана в интеграле. Еще одна ошибка - использовать обратный Якобиан не в той стороне замены: нужно ясно понимать, выражаются ли старые переменные через новые или наоборот. В полярных координатах также часто теряют множитель r, из-за чего площадь и масса оказываются заниженными.

Практика

Задачи с решением

Полярный якобиан

Условие. x=r cos\theta, y=r sin\theta

Решение. J=r

Ответ. dA=r dr d\theta

Аффинная замена

Условие. x=2u+v, y=u-v

Решение. J=\begin{vmatrix}2&1\\1&-1\end{vmatrix}=-3

Ответ. 3

Дополнительные источники

Apostol, Calculus, Volume II: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications to Differential Equations and Probability
Marsden, Tromba, Vector Calculus

Связанные формулы

Математика

Метод подстановки в интегрировании

$\int f(g(x))g'(x)\,dx = \int f(u)\,du, \quad u=g(x)$

Подстановка (или метод замены переменной) переносит интеграл к более удобной переменной. Идея: если подынтегральное выражение содержит композицию f(g(x)) и рядом стоит производная g'(x), делаем замену u=g(x), тогда dx заменяется через du. Это переводит задачу в более простую форму.

Математика

Касательная плоскость к графику z=f(x,y)

$z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)$

Касательная плоскость к графику z=f(x,y) дает линейное приближение поверхности около точки через значения частных производных.

Математика

Полный дифференциал функции двух переменных

$df(a,b)=f_x(a,b)\,dx+f_y(a,b)\,dy$

Полный дифференциал задает линейную главную часть изменения функции при малых одновременных изменениях x и y.

Математика

Площадь под графиком

$S = \int_a^b f(x)\,dx$

Сформулировка площади (с учётом знака) для функции на отрезке [a,b] при геометрической интерпретации как интегральной суммы.