Все формулы РФ

Физика / Механика

Гамильтониан через преобразование Лежандра

Гамильтониан получают из лагранжиана преобразованием Лежандра по скоростям, переходя от переменных q и qdot к координатам q и импульсам p.

Опубликовано: Обновлено:

Теоретическая механикаМеханикаДинамикаРабота, энергия и мощностьКалькуляторЕсть историческая справка

Формула

$$H(q,p,t)=\sum_i p_i\dot q_i-L(q,\dot q,t)$$
Схема Переход от L к H
L(q, qdot, t)H(q, p, t)p = ∂L/∂qdotH = p qdot - L

После преобразования H должен быть функцией q и p, а не qdot.

Обозначения

$H$
гамильтониан системы, Дж
$p_i$
обобщенный импульс, зависит от координаты
$qdot_i$
обобщенная скорость, выраженная через q и p, зависит от координаты

Условия применения

  • Обобщенные импульсы p_i = ∂L/∂qdot_i можно выразить через скорости и затем обратить связь.
  • Лагранжиан достаточно гладкий по скоростям.
  • Переход выполняется по всем независимым скоростям системы.

Ограничения

  • Гамильтониан равен полной энергии не всегда, а при обычных натуральных системах без явной зависимости от времени и с квадратичной кинетической энергией.
  • Если преобразование от скоростей к импульсам вырождено, нужны связи и расширенный формализм.
  • Нельзя оставлять H одновременно функцией qdot и p: после преобразования скорости выражают через импульсы.

Подробное объяснение

Гамильтонов формализм меняет набор переменных. Лагранжева механика использует координаты и скорости, а гамильтонова - координаты и сопряженные импульсы. Преобразование Лежандра делает эту замену так, чтобы новая функция H содержала ту же динамическую информацию, но была удобна для канонических уравнений первого порядка.

Сумма p_i qdot_i в формуле играет роль переходного члена. После вычитания L и выражения скоростей через импульсы получается функция H(q, p, t). В простых механических системах H часто совпадает с полной энергией T + U, но это следствие дополнительных условий, а не определение гамильтониана.

Практически формула используется так: найти обобщенные импульсы, обратить связь между p и qdot, подставить скорости в p qdot - L и упростить. После этого движение задается каноническими уравнениями Гамильтона, где производные H по p и q дают скорости и изменения импульсов. Такой переход особенно ценен для фазовых портретов и законов сохранения.

Как пользоваться формулой

  1. Найдите обобщенные импульсы p_i = ∂L/∂qdot_i.
  2. Выразите скорости qdot_i через координаты q_i и импульсы p_i.
  3. Подставьте скорости в сумму p_i qdot_i - L.
  4. Упростите H как функцию q, p и времени.

Историческая справка

Уильям Роуэн Гамильтон развил каноническую формулировку механики в XIX веке, опираясь на предшествующую лагранжеву аналитику и вариационные идеи. Преобразование Лежандра стало математическим мостом между описанием через скорости и описанием через импульсы. Такой переход оказался чрезвычайно плодотворным.

Гамильтонов формализм стал основой фазового пространства, статистической механики и канонического квантования. В базовой высшей физике формула H = Σp_i qdot_i - L важна потому, что показывает не только новую функцию, но и новый способ мыслить динамику: состояние системы задается точкой в пространстве координат и импульсов. Поэтому гамильтониан стал одним из главных объектов теоретической физики.

Историческая линия формулы

Формула связана с работами Уильяма Роуэна Гамильтона и математическим преобразованием Лежандра. В современной механике она является стандартным переходом от лагранжева к гамильтонову описанию в канонических переменных фазового пространства.

Пример

Для одномерного осциллятора L = 1/2 m xdot^2 - 1/2 kx^2. Сначала находим импульс p = ∂L/∂xdot = m xdot, значит xdot = p/m. Гамильтониан H = p xdot - L. Подставим скорость через импульс: H = p(p/m) - [1/2 m(p/m)^2 - 1/2 kx^2] = p^2/m - p^2/(2m) + 1/2 kx^2. Получаем H = p^2/(2m) + 1/2 kx^2. В этом случае H совпадает с полной энергией осциллятора: кинетическая часть выражена через импульс, потенциальная через координату. Проверка единиц тоже сходится: оба слагаемых измеряются в джоулях, а скорость в ответе уже не остается.

Частая ошибка

Частая ошибка - записать H = T + U без проверки условий и без преобразования Лежандра. Для многих простых систем это совпадет, но методически нужно понимать переход от L к H. Вторая ошибка - забыть выразить скорости через импульсы. Третья ошибка - потерять знак потенциальной энергии при вычитании L. Еще одна ошибка - считать, что явная зависимость L от времени невозможна; если она есть, гамильтониан может не сохраняться.

Практика

Задачи с решением

Свободная частица

Условие. Для L = 1/2 m xdot^2 найдите H.

Решение. p = m xdot, значит xdot = p/m. H = p xdot - L = p^2/m - p^2/(2m) = p^2/(2m).

Ответ. H = p^2/(2m)

Частица в потенциале

Условие. Для L = 1/2 m xdot^2 - U(x) найдите H.

Решение. p = m xdot, xdot = p/m. H = p^2/m - [p^2/(2m) - U(x)] = p^2/(2m) + U(x).

Ответ. H = p^2/(2m) + U(x)

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

  • OpenStax University Physics: Hamiltonian formulation overview
  • MIT OpenCourseWare Classical Mechanics: Hamilton's equations

Связанные формулы

Физика

Обобщенный импульс в лагранжевой механике

$p_i=\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}$

Обобщенный импульс равен частной производной лагранжиана по соответствующей обобщенной скорости и может отличаться от привычного импульса mv.

Физика

Канонические уравнения Гамильтона

$\dot q_i=\frac{\partial H}{\partial p_i},\quad \dot p_i=-\frac{\partial H}{\partial q_i}$

Канонические уравнения Гамильтона задают движение системы в фазовом пространстве через производные гамильтониана по импульсам и координатам.

Физика

Скобка Пуассона и эволюция величины

$\frac{df}{dt}=\{f,H\}+\frac{\partial f}{\partial t},\quad \{f,g\}=\sum_i\left(\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i}-\frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i}\right)$

Скобка Пуассона выражает изменение физической величины через ее производные по каноническим координатам и импульсам и гамильтониан системы.