Все формулы РФ

Физика / Механика

Канонические уравнения Гамильтона

Канонические уравнения Гамильтона задают движение системы в фазовом пространстве через производные гамильтониана по импульсам и координатам.

Опубликовано: Обновлено:

Теоретическая механикаМеханикаДинамикаКалькуляторЕсть историческая справка

Формула

$$\dot q_i=\frac{\partial H}{\partial p_i},\quad \dot p_i=-\frac{\partial H}{\partial q_i}$$
Схема Фазовая траектория осциллятора
xpH = const

Уравнения Гамильтона описывают движение точки в фазовом пространстве.

Обозначения

$q_i$
обобщенная координата, зависит от координаты
$p_i$
сопряженный обобщенный импульс, зависит от координаты
$H$
гамильтониан, Дж

Условия применения

  • Гамильтониан выражен как функция q, p и времени.
  • Пары q_i и p_i являются канонически сопряженными.
  • Преобразование от лагранжиана к гамильтониану выполнено корректно.

Ограничения

  • Если есть связи или вырожденный лагранжиан, канонические переменные требуют аккуратного выбора.
  • Уравнения не следует применять к функции H, где скорости не заменены импульсами.
  • При явной зависимости H от времени энергия системы может не сохраняться.

Подробное объяснение

Гамильтонова механика описывает состояние системы точкой в фазовом пространстве. Для каждой степени свободы есть координата q_i и импульс p_i. Канонические уравнения задают скорость движения этой точки: производная H по импульсу дает изменение координаты, а минус производная H по координате дает изменение импульса.

Главное отличие от лагранжева подхода в порядке уравнений. Уравнения Лагранжа обычно являются уравнениями второго порядка по координатам. Уравнения Гамильтона дают систему первого порядка для удвоенного набора переменных q и p. Это удобно для качественного анализа, фазовых портретов, интегрируемых систем и перехода к более продвинутым разделам физики.

Если H не зависит явно от времени, во многих обычных механических системах он сохраняется и совпадает с полной энергией. Но это не отменяет определения через канонические переменные. В расчетах важно сначала правильно построить H, а уже затем применять две канонические формулы.

Как пользоваться формулой

  1. Постройте гамильтониан H(q, p, t).
  2. Для каждой координаты вычислите ∂H/∂p_i и получите qdot_i.
  3. Для каждого импульса вычислите -∂H/∂q_i и получите pdot_i.
  4. При необходимости объедините систему первого порядка в привычное уравнение второго порядка.

Историческая справка

Гамильтонова механика была создана в XIX веке как развитие аналитической механики. Гамильтон связал механику с оптикой, вариационными принципами и новой канонической структурой уравнений. Канонические уравнения стали компактным способом записывать динамику в фазовом пространстве.

Значение этих уравнений вышло далеко за пределы классической механики. Они стали основой статистической физики, теории канонических преобразований и одним из мостов к квантовой механике. В учебном курсе теоретической механики они важны как второй язык динамики после лагранжева формализма. Через них студент впервые видит механику как геометрию потока в фазовом пространстве.

Историческая линия формулы

Уравнения названы в честь Уильяма Роуэна Гамильтона. Их современное использование связано с развитием канонической механики, фазового пространства, вариационных идей, оптико-механической аналогии и аналитических методов XIX века.

Пример

Для гармонического осциллятора H = p^2/(2m) + 1/2 kx^2. Первое уравнение дает xdot = ∂H/∂p = p/m. Второе уравнение дает pdot = -∂H/∂x = -kx. Если учесть, что p = m xdot, то pdot = m xddot. Получаем m xddot = -kx, или m xddot + kx = 0. Так гамильтонова система первого порядка возвращает обычное уравнение осциллятора второго порядка. При этом фазовая траектория в координатах x и p является эллипсом для фиксированной энергии. Это удобно для качественного анализа без явного решения x(t) и для проверки сохранения H.

Частая ошибка

Частая ошибка - забыть минус во втором уравнении. Вторая ошибка - брать производную H по скорости, хотя H должен зависеть от импульса. Третья ошибка - считать, что qdot всегда равна p, хотя обычно qdot = p/m или более сложная функция. Еще одна ошибка - смешивать канонические импульсы с механическими, особенно в задачах с электромагнитным полем.

Практика

Задачи с решением

Свободная частица

Условие. Для H = p^2/(2m) найдите уравнения Гамильтона.

Решение. xdot = ∂H/∂p = p/m. pdot = -∂H/∂x = 0, так как H не зависит от x.

Ответ. xdot = p/m, pdot = 0

Частица в потенциале

Условие. Для H = p^2/(2m) + U(x) запишите уравнения.

Решение. xdot = p/m. pdot = -dU/dx. Это эквивалентно второму закону Ньютона m xddot = -dU/dx.

Ответ. xdot = p/m, pdot = -dU/dx

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

  • OpenStax University Physics: Hamilton's equations
  • MIT OpenCourseWare Classical Mechanics: Hamiltonian dynamics

Связанные формулы

Физика

Скобка Пуассона и эволюция величины

$\frac{df}{dt}=\{f,H\}+\frac{\partial f}{\partial t},\quad \{f,g\}=\sum_i\left(\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i}-\frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i}\right)$

Скобка Пуассона выражает изменение физической величины через ее производные по каноническим координатам и импульсам и гамильтониан системы.

Физика

Малые колебания около положения равновесия

$\omega^2=\frac{U''(q_0)}{m_{eff}}$

Частота малых колебаний около устойчивого равновесия определяется второй производной потенциальной энергии в точке равновесия и эффективной массой координаты.