Физика / Механика

Обобщенный импульс в лагранжевой механике

Обобщенный импульс равен частной производной лагранжиана по соответствующей обобщенной скорости и может отличаться от привычного импульса mv.

Опубликовано: 12 мая 2026 г.Обновлено: 12 мая 2026 г.

Формула

p_i=\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}

Схема Координата и сопряженный импульс

Импульс зависит от выбранной координаты: для угла это не mv, а момент импульса.

Обозначения

$p_i$: обобщенный импульс, сопряженный координате q_i, зависит от координаты
$L$: лагранжиан системы, Дж
$qdot_i$: обобщенная скорость, зависит от q_i

Условия применения

Лагранжиан выражен через обобщенные координаты и скорости.
Обобщенная скорость qdot_i входит в L дифференцируемым образом.
Координата q_i выбрана как одна из независимых координат системы.

Ограничения

Обобщенный импульс не всегда имеет единицы кг·м/с; для угла он имеет единицы момента импульса.
В электромагнитном поле канонический импульс может отличаться от механического импульса.
Если лагранжиан вырожден по скоростям, переход к гамильтонову формализму требует дополнительных условий.

Подробное объяснение

В лагранжевой механике импульс определяется не только массой и скоростью, а структурой лагранжиана. Обобщенная координата может быть длиной, углом, параметром вдоль связи или другой величиной. Поэтому сопряженный импульс получает единицы и смысл, соответствующие этой координате. Для декартовой координаты обычно получается mv, для угла - момент импульса.

Формула p_i = ∂L/∂qdot_i особенно важна из-за циклических координат. Если лагранжиан не зависит от некоторой координаты q_i явно, то из уравнения Лагранжа следует dp_i/dt = 0. Значит, сопряженный импульс сохраняется. Так из симметрии по углу получается сохранение момента импульса, а из симметрии по координате - сохранение линейного импульса.

Эта же формула открывает путь к гамильтоновой механике. Чтобы перейти от L(q, qdot, t) к H(q, p, t), нужно заменить скорости на импульсы. Поэтому обобщенный импульс является не второстепенным обозначением, а мостом между двумя главными формализмами классической механики.

Как пользоваться формулой

Запишите лагранжиан через выбранные координаты и скорости.
Выберите координату q_i и соответствующую скорость qdot_i.
Возьмите частную производную L по qdot_i, считая q_i независимой переменной.
Проверьте физический смысл и единицы полученного импульса.

Историческая справка

Понятие обобщенного импульса появилось вместе с развитием аналитической механики. В ньютоновской механике импульс естественно связан с массой и скоростью в декартовых координатах. Лагранжев и затем гамильтонов формализм показали, что для произвольных координат нужна более общая величина, сопряженная скорости в лагранжиане.

В XIX веке эта идея стала центральной для гамильтоновой механики и фазового пространства. Позже канонические импульсы вошли в статистическую физику, квантовую механику и теорию поля. Поэтому формула важна не только для решения задач, но и для понимания языка современной теоретической физики. Она показывает, что физический смысл импульса зависит от симметрии и выбранной координаты.

Историческая линия формулы

Формула связана с развитием лагранжевой и гамильтоновой механики. Она не является отдельным открытием одного автора, но исторически опирается на работы Лагранжа, Гамильтона и последующую каноническую формулировку механики.

Пример

Для частицы в полярных координатах на плоскости кинетическая энергия равна T = 1/2 m(rdot^2 + r^2 φdot^2). Если потенциал зависит только от r, то L = T - U(r). Обобщенный импульс, сопряженный r, равен p_r = ∂L/∂rdot = m rdot. Обобщенный импульс, сопряженный углу φ, равен p_φ = ∂L/∂φdot = m r^2 φdot. Это уже не линейный импульс, а момент импульса относительно центра. Если L не зависит явно от φ, то p_φ сохраняется, что соответствует сохранению момента импульса в центральном поле. Единицы p_φ равны кг·м²/с, а не кг·м/с.

Частая ошибка

Частая ошибка - автоматически считать любой p_i обычным импульсом mv. Для угловых координат сопряженный импульс часто является моментом импульса. Вторая ошибка - брать производную по q_i вместо qdot_i. Третья ошибка - забывать коэффициенты, зависящие от координат, например r^2 в полярных координатах. Еще одна ошибка - путать сохранение p_i с постоянством координаты: сохраняется импульс, если координата циклическая, а сама координата может меняться.

Практика

Задачи с решением

Импульс для декартовой координаты

Условие. Для L = 1/2 m xdot^2 - U(x) найдите p_x.

Решение. Берем производную по xdot: p_x = ∂L/∂xdot = m xdot.

Ответ. p_x = m xdot

Угловой импульс

Условие. Для L = 1/2 I φdot^2 - U(φ) найдите p_φ.

Решение. Производная по φdot равна I φdot. Это момент импульса для вращательной координаты.

Ответ. p_φ = I φdot

Калькулятор

Посчитать по формуле

massOrInertiaqdot

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

OpenStax University Physics: generalized coordinates and momentum
MIT OpenCourseWare Classical Mechanics: canonical momentum

Связанные формулы

Физика

Уравнения Лагранжа второго рода

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}-\frac{\partial L}{\partial q_i}=Q_i^{(nc)}$

Уравнения Лагранжа второго рода дают уравнения движения в обобщенных координатах через производные лагранжиана и возможные неконсервативные обобщенные силы.

Физика

Гамильтониан через преобразование Лежандра

$H(q,p,t)=\sum_i p_i\dot q_i-L(q,\dot q,t)$

Гамильтониан получают из лагранжиана преобразованием Лежандра по скоростям, переходя от переменных q и qdot к координатам q и импульсам p.

Физика

Канонические уравнения Гамильтона

$\dot q_i=\frac{\partial H}{\partial p_i},\quad \dot p_i=-\frac{\partial H}{\partial q_i}$

Канонические уравнения Гамильтона задают движение системы в фазовом пространстве через производные гамильтониана по импульсам и координатам.