Физика / Механика

Функция Лагранжа T минус U

Функция Лагранжа равна разности кинетической и потенциальной энергии системы, если силы потенциальны и выбранные координаты описывают конфигурацию системы.

Опубликовано: 12 мая 2026 г.Обновлено: 12 мая 2026 г.

Формула

$$L=T-U$$

Схема Энергии в лагранжиане

L = T - U: не полная энергия, а функция для вариационного описания движения.

Обозначения

$L$: функция Лагранжа, Дж
$T$: кинетическая энергия системы, Дж
$U$: потенциальная энергия системы, Дж

Условия применения

Система описывается выбранными обобщенными координатами и скоростями.
Потенциальная энергия U задана для консервативных сил.
Связи либо учтены выбором координат, либо рассматриваются отдельно через множители Лагранжа.

Ограничения

Если есть трение или другие неконсервативные силы, одной записи L = T - U недостаточно: их добавляют как обобщенные силы или через функции диссипации.
Потенциальная энергия определена с точностью до постоянной; это не меняет уравнения движения.
Для электромагнитных задач лагранжиан может зависеть от скоростей и не сводиться к простой разности T - U в школьном смысле.

Подробное объяснение

Лагранжев подход заменяет прямое суммирование сил работой с энергиями. Если координаты выбраны удачно, реакции идеальных связей не входят явно в уравнения движения. Это особенно удобно для маятников, тел на направляющих, систем с несколькими степенями свободы и задач с криволинейными координатами.

Функция L = T - U сама по себе не является наблюдаемой энергией, но ее производные по координатам и скоростям дают уравнения движения. Кинетическая энергия описывает, как система движется в выбранных координатах, а потенциальная энергия описывает, как положение влияет на силы. Разность этих величин оказывается именно той функцией, экстремум действия которой приводит к правильной динамике.

В вузовской механике важно не заучивать формулу изолированно. Сначала выбирают обобщенные координаты, затем выражают T и U через эти координаты и их производные, затем строят L и только потом применяют уравнения Лагранжа. Если координаты выбраны неудачно, формула остается верной, но вычисления могут стать значительно тяжелее.

Как пользоваться формулой

Выберите обобщенные координаты, которые учитывают связи системы.
Запишите кинетическую энергию T через координаты и обобщенные скорости.
Запишите потенциальную энергию U в той же системе координат.
Составьте L = T - U и используйте его в уравнениях Лагранжа.

Историческая справка

Лагранжева механика выросла из попытки записать механику в более общем и экономном виде, чем прямые уравнения Ньютона для каждой силы. Жозеф Луи Лагранж в XVIII веке развил аналитическую механику, где движение выводится из скалярных функций и обобщенных координат. Это позволило системно работать со связями и сложными механическими системами.

Формула L = T - U является учебным входом в этот аппарат. В более общей теории лагранжиан может иметь другой вид, но для многих механических систем с потенциальными силами разность кинетической и потенциальной энергии дает правильные уравнения движения. Поэтому страница должна восприниматься как стартовая точка раздела, а не как вся лагранжева механика целиком.

Историческая линия формулы

Формализм связан прежде всего с Жозефом Луи Лагранжем и его аналитической механикой. Запись L = T - U стала стандартной учебной формой для консервативных механических систем с обобщенными координатами и идеальными связями.

Пример

Для математического маятника длины l с массой m удобно взять координату φ - угол отклонения от вертикали. Кинетическая энергия равна T = 1/2 m l^2 φdot^2, потому что скорость груза v = l φdot. Потенциальную энергию можно записать как U = mgl(1 - cos φ), если ноль выбран в нижнем положении. Тогда L = 1/2 m l^2 φdot^2 - mgl(1 - cos φ). Эта запись уже содержит информацию о движении без явного выписывания силы натяжения нити. После подстановки L в уравнение Лагранжа получается уравнение маятника φddot + (g/l) sin φ = 0.

Частая ошибка

Частая ошибка - считать L полной энергией системы. Полная механическая энергия для консервативной системы обычно E = T + U, а лагранжиан равен T - U. Вторая ошибка - записывать потенциальную энергию с неправильным знаком и получать неверное направление силы. Третья ошибка - забывать, что T нужно выражать через обобщенные скорости, а не через произвольную школьную скорость. Еще одна ошибка - механически применять L = T - U к системам с трением, не добавляя неконсервативные силы.

Практика

Задачи с решением

Лагранжиан пружинного осциллятора

Условие. Масса m движется по прямой на пружине жесткости k. Запишите L через координату x.

Решение. Кинетическая энергия T = 1/2 m xdot^2. Потенциальная энергия пружины U = 1/2 kx^2. Поэтому L = 1/2 m xdot^2 - 1/2 kx^2.

Ответ. L = 1/2 m xdot^2 - 1/2 kx^2

Знак потенциальной энергии

Условие. Для частицы в поле тяжести около поверхности Земли U = mgy. Запишите лагранжиан при вертикальной координате y.

Решение. Если ось y направлена вверх, T = 1/2 m ydot^2, U = mgy. Значит L = 1/2 m ydot^2 - mgy.

Ответ. L = 1/2 m ydot^2 - mgy

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

OpenStax University Physics: Lagrangian mechanics overview
MIT OpenCourseWare Classical Mechanics: Lagrange equations

Связанные формулы

Физика

Уравнения Лагранжа второго рода

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}-\frac{\partial L}{\partial q_i}=Q_i^{(nc)}$

Уравнения Лагранжа второго рода дают уравнения движения в обобщенных координатах через производные лагранжиана и возможные неконсервативные обобщенные силы.

Физика

Обобщенный импульс в лагранжевой механике

$p_i=\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}$

Обобщенный импульс равен частной производной лагранжиана по соответствующей обобщенной скорости и может отличаться от привычного импульса mv.

Физика

Малые колебания около положения равновесия

$\omega^2=\frac{U''(q_0)}{m_{eff}}$

Частота малых колебаний около устойчивого равновесия определяется второй производной потенциальной энергии в точке равновесия и эффективной массой координаты.