Все формулы РФ

Математика / Начала анализа

Уравнение касательной к графику функции

Касательная к графику функции в точке x0 имеет угловой коэффициент f'(x0) и проходит через точку графика (x0; f(x0)) как обычная прямая.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаЕГЭФормулы по математике за 11 классФормулы по математике для ЕГЭ профильНачала математического анализаФункции и графикиКалькуляторЕсть историческая справка

Формула

$$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$$
Касательная Касательная имеет наклон производной

Прямая касается графика в точке x0 и имеет угловой коэффициент f'(x0).

Формула касательной - это уравнение прямой через точку с заданным наклоном.

Обозначения

$x_0$
абсцисса точки касания
$f(x_0)$
ордината точки касания
$f'(x_0)$
угловой коэффициент касательной
$x$
переменная в уравнении прямой

Условия применения

  • Функция имеет производную в точке x0.
  • Точка касания принадлежит графику исходной функции.
  • Касательная рассматривается как прямая с угловым коэффициентом f'(x0).

Ограничения

  • Если производной в точке нет, обычное уравнение касательной через f'(x0) не составляется.
  • Вертикальная касательная не описывается формой y=kx+b.
  • Нельзя подставлять f'(x0) вместо f(x0): одно задает наклон, другое точку на графике.

Подробное объяснение

Касательная в точке - это прямая, которая локально имеет тот же наклон, что и график функции. Производная f'(x0) как раз дает этот наклон. Любая невидимая пока касательная является прямой, а уравнение прямой через точку с угловым коэффициентом k записывается как y-y0=k(x-x0). Если взять y0=f(x0), а k=f'(x0), получается формула касательной.

Формула показывает две независимые части задачи. Значение f(x0) отвечает за то, где находится точка касания. Производная f'(x0) отвечает за направление прямой. Поэтому для составления касательной всегда нужны оба вычисления. Иногда в условии уже дана точка или наклон, но связь между ними все равно проходит через эту формулу.

В ЕГЭ касательная часто используется в обратных задачах. Например, дана прямая и нужно найти точку касания, тогда ее угловой коэффициент приравнивают к f'(x0), а затем проверяют прохождение через график. Такой подход работает только при аккуратном разделении наклона и координат точки.

Как пользоваться формулой

  1. Найдите x0 из условия или обозначьте его неизвестным.
  2. Вычислите f(x0), чтобы получить точку касания.
  3. Найдите производную f'(x) и значение f'(x0).
  4. Подставьте в формулу y=f(x0)+f'(x0)(x-x0).
  5. При необходимости раскройте скобки и проверьте точку касания.

Историческая справка

Задача о касательной была одной из главных задач, из которых выросла производная. Еще до строгого языка пределов математики искали способы проводить касательные к кривым, потому что это было важно для геометрии, оптики, механики и астрономии. Ферма разработал методы нахождения касательных и экстремумов для алгебраических кривых. Ньютон и Лейбниц затем встроили задачу о касательной в общий аппарат анализа: касательная стала геометрическим выражением мгновенной скорости изменения. Современная школьная формула y=f(x0)+f'(x0)(x-x0) объединяет уравнение прямой из аналитической геометрии и производную как наклон графика. Поэтому она полезна не только как формула, но и как смысловой мост между алгеброй, графиками и анализом.

Историческая линия формулы

Формула касательной в школьном виде опирается на уравнение прямой и геометрический смысл производной. Исторически задача о касательных связана с Ферма, а общий дифференциальный аппарат - с Ньютоном и Лейбницем, поэтому корректнее говорить о линии развития, а не об одном авторе записи.

Готфрид Вильгельм Лейбниц 1646-1716

Пример

Составим уравнение касательной к графику f(x)=x^2 в точке x0=3. Сначала найдем значение функции: f(3)=9. Затем найдем производную: f'(x)=2x, значит f'(3)=6. Подставляем в формулу: y=9+6(x-3). Упростим: y=9+6x-18=6x-9. Проверка: при x=3 получаем y=18-9=9, значит прямая проходит через точку касания. Наклон равен 6, что совпадает с производной в этой точке. Если перепутать f(3) и f'(3), получится прямая с неверной точкой или неверным наклоном. В ответе можно оставить форму y=9+6(x-3), если она лучше показывает точку касания.

Частая ошибка

Частая ошибка - находить только производную и забывать значение функции в точке касания. Вторая ошибка - использовать x вместо x0 внутри f'(x0), оставляя у касательной переменный наклон, хотя касательная является прямой. Еще одна ошибка - считать, что точка с абсциссой x0 имеет ординату x0, а не f(x0). В задачах с параметрами также важно проверять, что найденная точка действительно принадлежит графику.

Практика

Задачи с решением

Касательная к параболе

Условие. Составьте касательную к y=x^2+1 при x0=2.

Решение. f(2)=5, f'(x)=2x, f'(2)=4. y=5+4(x-2)=4x-3.

Ответ. y=4x-3

Касательная к кубической функции

Условие. Составьте касательную к y=x^3 в точке x0=1.

Решение. f(1)=1, f'(x)=3x^2, f'(1)=3. y=1+3(x-1)=3x-2.

Ответ. y=3x-2

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

  • OpenStax Calculus Volume 1, раздел Defining the Derivative
  • OpenStax Calculus Volume 1, раздел Linear Approximations and Differentials
  • ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ по математике 2026

Связанные формулы

Математика

Определение производной через предел

$f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

Производная функции в точке равна пределу отношения приращения функции к приращению аргумента, если этот предел существует.

Математика

Производная степенной функции

$(x^n)'=nx^{n-1}$

Производная степенной функции x^n равна n·x^(n-1), то есть показатель степени становится коэффициентом и уменьшается на единицу.