Математика

Начала анализа

Производные, первообразные, интегралы и применение анализа в школьных задачах.

15 формул

Формулы темы

Определение производной через предел

Производная функции в точке равна пределу отношения приращения функции к приращению аргумента, если этот предел существует.

$f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

Производная степенной функции

Производная степенной функции x^n равна n·x^(n-1), то есть показатель степени становится коэффициентом и уменьшается на единицу.

$(x^n)'=nx^{n-1}$

Производная суммы и разности

Производная суммы или разности функций равна сумме или разности их производных при условии, что обе производные существуют.

$(u\pm v)'=u'\pm v'$

Производная произведения

Производная произведения двух функций равна производной первой функции, умноженной на вторую, плюс первая функция, умноженная на производную второй.

$(uv)'=u'v+uv'$

Производная частного

Производная частного двух функций равна дроби, в числителе которой стоит u'v − uv', а в знаменателе квадрат знаменателя исходной дроби.

$\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$

Производная сложной функции

Производная сложной функции равна производной внешней функции, взятой от внутренней, умноженной на производную внутренней функции.

$(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$

Уравнение касательной к графику функции

Касательная к графику функции в точке x0 имеет угловой коэффициент f'(x0) и проходит через точку графика (x0; f(x0)) как обычная прямая.

$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$

Признак возрастания и убывания через производную

Если производная положительна на интервале, функция возрастает; если производная отрицательна на интервале, функция убывает.

$f'(x)>0\Rightarrow f\uparrow,\quad f'(x)<0\Rightarrow f\downarrow$

Критические точки и экстремум функции

Критические точки функции ищут среди точек, где производная равна нулю или не существует, а экстремум подтверждают сменой знака производной.

$f'(x_0)=0\ \text{или}\ f'(x_0)\ \text{не существует}$

Первообразная степенной функции

Первообразная степенной функции x^n равна x^(n+1)/(n+1) плюс постоянная C, если показатель степени не равен −1, и проверяется производной.

$\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\quad n\ne -1$

Монотонность функции по знаку производной

Монотонность функции по знаку производной: формула f'(x)>0\Rightarrow f\uparrow,\ f'(x)<0\Rightarrow f\downarrow помогает величины f, x заданы для одной и той же ситуации, периода или объекта. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.

$f'(x)>0\Rightarrow f\uparrow,\ f'(x)<0\Rightarrow f\downarrow$