Все формулы РФ

Математика / Начала анализа

Первообразная степенной функции

Первообразная степенной функции x^n равна x^(n+1)/(n+1) плюс постоянная C, если показатель степени не равен −1, и проверяется производной.

Опубликовано: Обновлено:

Школьная программаЕГЭФормулы по математике за 11 классФормулы по математике для ЕГЭ профильНачала математического анализаФункции и графикиКалькуляторЕсть историческая справка

Формула

$$\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\quad n\ne -1$$
Обратная операция Первообразная проверяется производной

После нахождения F(x) нужно продифференцировать ее и получить исходную f(x).

Интегрирование степени обращает правило производной степени.

Обозначения

$n$
показатель степени
$C$
произвольная постоянная
$\int x^n dx$
семейство первообразных функции x^n

Условия применения

  • Показатель n не равен -1.
  • Функция рассматривается на промежутке, где степенное выражение определено.
  • Для неопределенного интеграла добавляется произвольная постоянная C.

Ограничения

  • При n=-1 формула не работает: первообразная для 1/x равна ln|x|+C.
  • Для дробных показателей нужно учитывать область определения степенной функции.
  • Постоянную C нельзя забывать в неопределенном интеграле, потому что производная постоянной равна нулю.

Подробное объяснение

Первообразная - это функция, производная которой равна исходной функции. Поэтому правило для степенной функции работает как обратное действие к производной степени. Если производная x^(n+1) равна (n+1)x^n, то чтобы получить ровно x^n, нужно разделить x^(n+1) на n+1. Так возникает формула x^(n+1)/(n+1).

Постоянная C появляется потому, что производная любой постоянной равна нулю. Функции x^3, x^3+5 и x^3-100 имеют одинаковую производную 3x^2. Поэтому неопределенный интеграл задает не одну функцию, а целое семейство первообразных. В задачах с начальным условием постоянную можно найти отдельно.

В школьном курсе формула первообразной степени подготавливает определенный интеграл и площади под графиком. Для многочлена правило применяется к каждому слагаемому, как и производная суммы. Проверка всегда проста: нужно продифференцировать найденную первообразную и убедиться, что вернулась исходная функция.

Как пользоваться формулой

  1. Проверьте, что показатель степени n не равен -1.
  2. Увеличьте показатель степени на единицу.
  3. Разделите выражение на новый показатель n+1.
  4. Сохраните коэффициент перед степенью.
  5. Добавьте постоянную C и проверьте ответ производной.

Историческая справка

Первообразная и интеграл исторически развивались рядом с задачами о площадях и обратными задачами к движению. Архимед использовал методы исчерпывания для площадей, но современная связь интеграла и производной появилась в эпоху Ньютона и Лейбница. Ньютон видел интегрирование как обратную задачу к нахождению флюксий, а Лейбницова символика интеграла стала стандартной записью суммы бесконечно малых вкладов. Главный прорыв анализа состоял в понимании связи между производной и интегралом: нахождение первообразной позволяет вычислять площади и накопленные изменения. В школьном курсе формула первообразной степенной функции является первым практическим правилом этой обратной связи.

Историческая линия формулы

Формула первообразной степенной функции в школьной форме является частью интегрального исчисления. Исторически ее связывают с общей теорией Ньютона и Лейбница, а более ранний контекст задач о площадях восходит к методам Архимеда.

Готфрид Вильгельм Лейбниц 1646-1716

Пример

Найдем первообразную функции f(x)=3x^2-4x+5. Для 3x^2 получаем 3*x^3/3=x^3. Для -4x получаем -4*x^2/2=-2x^2. Для 5 получаем 5x. Поэтому одна общая запись первообразной: F(x)=x^3-2x^2+5x+C. Проверим обратным действием: F'(x)=3x^2-4x+5, значит первообразная найдена верно. Если забыть C, получится только одна из бесконечно многих первообразных, хотя все функции F(x)+C имеют одну и ту же производную. Если дополнительно дано условие F(0)=2, то C=2, и семейство превращается в одну конкретную функцию с заданным начальным значением.

Частая ошибка

Частая ошибка - уменьшать показатель, как при производной, хотя для первообразной показатель увеличивается на единицу. Вторая ошибка - забывать деление на новый показатель: первообразная x^4 не x^5, а x^5/5. Еще одна ошибка - применять формулу к x^-1 и получать деление на ноль. Этот случай нужно запоминать отдельно через натуральный логарифм. В неопределенном интеграле также часто забывают постоянную C.

Практика

Задачи с решением

Первообразная степени

Условие. Найдите первообразную функции f(x)=x^4.

Решение. Увеличиваем показатель: x^5. Делим на 5. F(x)=x^5/5+C.

Ответ. x^5/5+C

Первообразная многочлена

Условие. Найдите первообразную f(x)=6x^2-2x+1.

Решение. F(x)=6*x^3/3-2*x^2/2+x+C=2x^3-x^2+x+C.

Ответ. 2x^3-x^2+x+C

Калькулятор

Посчитать по формуле

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

  • OpenStax Calculus Volume 1, раздел Antiderivatives
  • OpenStax Calculus Volume 1, раздел Integration Formulas and the Net Change Theorem

Связанные формулы

Математика

Производная степенной функции

$(x^n)'=nx^{n-1}$

Производная степенной функции x^n равна n·x^(n-1), то есть показатель степени становится коэффициентом и уменьшается на единицу.

Математика

Определение производной через предел

$f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

Производная функции в точке равна пределу отношения приращения функции к приращению аргумента, если этот предел существует.

Математика

Производная суммы и разности

$(u\pm v)'=u'\pm v'$

Производная суммы или разности функций равна сумме или разности их производных при условии, что обе производные существуют.