Математика / Начала анализа

Производная суммы и разности

Производная суммы или разности функций равна сумме или разности их производных при условии, что обе производные существуют.

Опубликовано: 12 мая 2026 г.Обновлено: 12 мая 2026 г.

Школьная программа ЕГЭ Формулы по математике за 11 класс Формулы по математике для ЕГЭ профиль Начала математического анализа Функции и графики Калькулятор Есть историческая справка

Формула

(u\pm v)'=u'\pm v'

Алгебраическая схема Дифференцируем по частям

Каждое слагаемое дает свой вклад в итоговую производную, а знак между слагаемыми сохраняется.

Правило суммы делает производную многочлена послагаемой операцией.

Обозначения

$u$: первая функция от x
$v$: вторая функция от x
$u'$: производная первой функции
$v'$: производная второй функции

Условия применения

Функции u и v имеют производные в рассматриваемой точке или на интервале.
Знак между функциями сохраняется при переходе к производным.
Правило применяется к конечной сумме слагаемых.

Ограничения

Если хотя бы у одного слагаемого нет производной в точке, правило в этой точке применять нельзя.
Правило суммы не заменяет правила произведения: (uv)' не равно u'+v'.
Перед дифференцированием сложного выражения иногда нужно раскрыть скобки или привести подобные слагаемые.

Подробное объяснение

Правило суммы отражает линейность операции дифференцирования. Если функция состоит из нескольких независимых вкладов, мгновенная скорость изменения всей функции равна сумме мгновенных скоростей изменения этих вкладов. Это согласуется с обычным смыслом изменения: если одно слагаемое растет быстро, другое медленно убывает, итоговое изменение учитывает оба вклада с их знаками.

В школьной практике правило суммы обычно работает вместе с правилом постоянного множителя и правилом степени. Благодаря этому производная многочлена находится по слагаемым: каждое слагаемое дифференцируется отдельно, коэффициент сохраняется, а результаты складываются. Такой подход сокращает вычисления и делает решение более проверяемым.

Правило важно и при исследовании функции. Ошибка в одном знаке меняет производную, а значит, может изменить промежутки возрастания, критические точки и экстремумы. Поэтому после вычисления полезно проверить производную на простом значении x или сравнить порядок степени: у многочлена степени n производная обычно имеет степень n-1, если старший коэффициент не исчезает.

Как пользоваться формулой

Разбейте функцию на отдельные слагаемые.
Сохраните знаки плюс и минус между слагаемыми.
Найдите производную каждого слагаемого.
Сложите или вычтите полученные производные.
Упростите выражение и проверьте знаки.

Историческая справка

Линейность производной стала естественной частью дифференциального исчисления вместе с развитием правил вычисления. После того как Ньютон и Лейбниц построили общий аппарат работы с изменяющимися величинами, математикам понадобились устойчивые правила, позволяющие не возвращаться каждый раз к пределу. Правило суммы оказалось одним из самых прозрачных: изменение суммы складывается из изменений слагаемых. В лейбницевой записи это правило стало особенно удобным для вычислений, а в ньютоновской традиции соответствовало сложению скоростей изменения флюент. В современном школьном курсе это правило обычно вводят сразу после определения производной и производной степенной функции, потому что оно делает возможным быстрый переход к многочленам и исследованию графиков.

Историческая линия формулы

Правило производной суммы является общим свойством операции дифференцирования, а не отдельным авторским результатом в школьной записи. Исторически оно входит в аппарат анализа, развитый Ньютоном и Лейбницем и позже уточненный через пределы.

Готфрид Вильгельм Лейбниц 1646-1716

Пример

Пусть f(x)=x^4-2x^3+5x-9. Разбиваем функцию на слагаемые и дифференцируем каждое отдельно: (x^4)'=4x^3, (-2x^3)'=-6x^2, (5x)'=5, (-9)'=0. По правилу суммы и разности получаем f'(x)=4x^3-6x^2+5. Если нужно найти f'(1), подставляем x=1: 4-6+5=3. Важно, что знак минус перед 2x^3 сохранился и перешел в производную как отрицательное слагаемое. Если забыть этот знак, весь дальнейший анализ функции будет неверным: изменятся нули производной, а значит и промежутки возрастания, убывания и возможные экстремумы.

Частая ошибка

Частая ошибка - потерять минус перед слагаемым, особенно когда выражение записано в скобках. Вторая ошибка - применять правило суммы к произведению, например писать (x^2 sin x)' = 2x + cos x, хотя здесь нужно правило произведения. Еще одна ошибка - забывать, что производная постоянного слагаемого равна нулю. В задачах на ЕГЭ это часто приводит к лишнему числу в производной.

Практика

Задачи с решением

Сумма степенных функций

Условие. Найдите производную f(x)=x^3+4x^2-7x+1.

Решение. f'(x)=3x^2+8x-7+0=3x^2+8x-7.

Ответ. 3x^2+8x-7

Разность функций

Условие. Найдите производную f(x)=5x^4-x^2.

Решение. f'(x)=20x^3-2x.

Ответ. 20x^3-2x

Калькулятор

Посчитать по формуле

uPrimevPrime

Введите значения и нажмите «Рассчитать».

Дополнительные источники

OpenStax Calculus Volume 1, раздел Differentiation Rules
OpenStax Calculus Volume 1, раздел Key Concepts: Derivatives
ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ по математике 2026

Связанные формулы

Математика

Производная степенной функции

$(x^n)'=nx^{n-1}$

Производная степенной функции x^n равна n·x^(n-1), то есть показатель степени становится коэффициентом и уменьшается на единицу.

Математика

Производная произведения

$(uv)'=u'v+uv'$

Производная произведения двух функций равна производной первой функции, умноженной на вторую, плюс первая функция, умноженная на производную второй.

Математика

Производная частного

$\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$

Производная частного двух функций равна дроби, в числителе которой стоит u'v − uv', а в знаменателе квадрат знаменателя исходной дроби.