Все формулы РФ

Математика / Пределы, ряды

Центр масс области и тела

Центр масс показывает, где сосредоточен средний вес распределения в плоскости или в пространстве. Страница показывает не только запись формулы, но и смысл области интегрирования, элемента меры и типичных ограничений метода.

Опубликовано: Обновлено:

Математический анализГеометрияРасчет площадейРасчет объемов

Формула

$$\bar x=\frac1M\iint_D x\rho(x,y)\,dA,\qquad \bar y=\frac1M\iint_D y\rho(x,y)\,dA,\qquad M=\iint_D \rho\,dA$$
Схема Визуальная схема: Центр масс области и тела

Покажите плоская область с плотностью, моменты относительно осей, точка центра масс как взвешенное среднее. Такой рисунок помогает увидеть, что интеграл суммирует малые элементы области или объема, а не работает только как формальная запись.

Покажите плоская область с плотностью, моменты относительно осей, точка центра масс как взвешенное среднее. Такой рисунок помогает увидеть, что интеграл суммирует малые элементы области или объема, а не работает только как формальная запись.

Обозначения

$M$
полная масса, кг
$\rho$
плотность, кг/м^2 или кг/м^3
$(\bar x,\bar y)$
координаты центра масс, м

Условия применения

  • Плотность должна быть задана на всей области или теле.
  • Нужно сначала найти полную массу M, а уже потом координаты центра масс.
  • Для однородного тела формулы упрощаются до геометрического центра.

Ограничения

  • Без полной массы центр масс не вычисляется корректно.
  • Если плотность меняется резко, нужно отдельно проверять интегрируемость.
  • Для тел с симметрией лучше сначала использовать симметрию, а не громоздкий прямой расчет.

Подробное объяснение

Центр масс — это взвешенное среднее, а не просто середина фигуры. Если плотность однородна, центр масс совпадает с геометрическим центром, но при неоднородности точка смещается туда, где масса распределена сильнее.

Центр масс находится как отношение момента к общей массе. Для плоской пластинки с плотностью rho(x,y) координата x центра равна интегралу x rho dA, деленному на интеграл rho dA; координата y считается аналогично. Для тела используется объемная плотность и тройные интегралы. Формула выражает идею взвешенного среднего: точки с большей плотностью или большим расстоянием от оси сильнее влияют на положение центра.

Практический алгоритм применения: Сначала запишите плотность и область или тело. Вычислите полную массу M. Найдите моменты относительно осей и разделите их на M. Если есть симметрия, используйте ее до интегрирования. Практический порядок один и тот же: сначала нарисовать или описать область, затем выбрать координаты, после этого записать элемент площади или объема, проверить пределы и только потом считать интеграл. Если результат имеет физический смысл, в конце нужно проверить единицы измерения и знак.

Как пользоваться формулой

  1. Нарисовать или описать область интегрирования и отметить все границы.
  2. Выбрать порядок интегрирования или координаты, в которых область и функция становятся проще.
  3. Записать элемент площади или объема вместе с нужным множителем Якобиана.
  4. Вычислить интеграл и проверить единицы измерения, знак и геометрический смысл результата.

Историческая справка

Понятие центра тяжести развивалось в античной механике и позже в работах Архимеда, Ньютона, Эйлера и Лагранжа. Современная формула центра масс в анализе и механике — это итог этой длинной традиции, а не изолированное открытие одного математика.

Кратные интегралы выросли из развития анализа XVIII-XIX веков, когда геометрические задачи о площадях, объемах и центрах тяжести стали записывать через пределы сумм. Современная форма опирается на строгую теорию интеграла, замену переменных и условия, при которых повторные интегралы действительно описывают одну и ту же область.

Историческая линия формулы

Корректно говорить о линии от античной механики к классической механике и анализу XIX века; приписывать формулу одному автору здесь нельзя. Историческая связь здесь не сводится к одному автору: в развитии темы участвовали Эйлер, Лагранж, Коши, Якоби, Фубини и другие математики. На странице указывается именно линия развития метода, а не искусственное единоличное авторство конкретной учебной формулы.

Пример

Для однородного треугольника центр масс лежит в точке пересечения медиан. Для неоднородной пластины сначала считают массу M, затем моменты по x и y, и только потом получают координаты центра масс как отношение моментов к массе. Для однородной области D масса равна rho0 * area(D), а x-координата центра равна (1/area(D)) int_D x dA. У прямоугольника 0<=x<=a, 0<=y<=b это дает a/2 и b/2. Если плотность растет вправо, например rho=x+1, числитель для x увеличивается сильнее, и центр масс смещается в сторону больших x.

Частая ошибка

Путают центр масс с просто серединой отрезка или площади. Забывают деление на полную массу M. Используют формулу для однородного тела там, где плотность меняется. Нельзя делить момент на площадь, если плотность непостоянна: делить нужно на массу. Еще одна ошибка — использовать формулы плоской области для объемного тела без перехода от dA к dV. В задачах с симметрией нельзя автоматически ставить центр в геометрический центр, если плотность нарушает симметрию.

Практика

Задачи с решением

Центр прямоугольника

Условие. Прямоугольник 0\le x\le2, 0\le y\le4, плотность постоянна

Решение. Для однородного прямоугольника центр масс совпадает с геометрическим центром: (1,2).

Ответ. (1,2)

Плотность зависит от x

Условие. Квадрат 0\le x\le1, 0\le y\le1, \rho=x

Решение. M=\int_0^1\int_0^1 x\,dy\,dx=1/2, \bar x=\frac1M\int_0^1\int_0^1 x^2\,dy\,dx=2/3, \bar y=\frac1M\int_0^1\int_0^1 xy\,dy\,dx=1/2.

Ответ. (2/3,1/2)

Дополнительные источники

  • Marsden, Tromba, Vector Calculus
  • Apostol, Calculus, Volume II: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications to Differential Equations and Probability
  • Stewart, Calculus: Early Transcendentals

Связанные формулы

Математика

Двойной интеграл по области

$\iint_D f(x,y)\,dA=\lim_{\max\Delta A_i\to0}\sum_i f(\xi_i,\eta_i)\,\Delta A_i$

Двойной интеграл складывает значения функции по плоской области и дает общий вклад распределенной величины. Страница показывает не только запись формулы, но и смысл области интегрирования, элемента меры и типичных ограничений метода.

Математика

Объем через тройной интеграл

$V(G)=\iiint_G 1\,dV$

Объем тела равен тройному интегралу от единицы по этому телу. Страница показывает не только запись формулы, но и смысл области интегрирования, элемента меры и типичных ограничений метода.

Математика

Площадь через двойной интеграл

$S(D)=\iint_D 1\,dA$

Площадь области можно вычислить как двойной интеграл от единицы по этой области. Страница показывает не только запись формулы, но и смысл области интегрирования, элемента меры и типичных ограничений метода.